Question

Let f be a real function given by f (x)=`sqrt (x-2)`
Find each of the following:

(i) fof
(ii) fofof
(iii) (fofof) (38)
(iv) f²

Also, show that fof ≠ `f^2` .

Answer 1

f (x) = `sqrt(x-2)`

For domain,

x − 2 ≥ 0

⇒ x ≥ 2

Domain of f = [ 2,∞ )

Since f is a square-root function, range of f =( 0,∞)

So, f : [2,∞) → ( 0,∞ )

(i) fof

Range of f is not a subset of the domain of f.

⇒Domain(fof)= { x : x ∈ domain of fand f (x) ∈ domain of f}

⇒ Domain (fof) = `{x :x in [2, ∞ ) and sqrt (x-2) in [ 2  ∞ )}`

⇒ Domain (fof) = `{x :x in [2, ∞ ) and sqrt (x-2)≥ 2 }`

⇒ Domain(fof) = { x : x ∈ [2,∞) and  x−2 ≥4 }

⇒ Domain(fof) = { x : x ∈ [2,∞) and  x ≥ 6}⇒ Domain(fof) = { x : x ≥ 6}

⇒ Domain(fof) = [ 6, ∞ )

fof : [6, ∞) → R

(fof) (x) = f (f (x))

= ` f (sqrt(x -2))`

 =  `sqrt (sqrt(x - 2) - 2)`

(ii) fofof= (fof) of 

We have, f : [ 2,∞ ) → ( 0,∞ ) and fof : [ 6, ∞ ) → R

⇒ Range of f is not a subset of the domain of fof.

Then, domain((fof)of)={ x : x ∈domain of fand f (x) ∈ domain of fof }

⇒  Domain((fof)of) = `{ x : x  in [ 2,∞) and sqrt (x-2) in [ 6 ,∞)}`

⇒ Domain ((fof)of) = ` x:x in [ 2 ∞ ) and sqrt(x-2) ≥ 6 }`

⇒ Domain ((fof)of) = { x : x ∈ [2,∞) and  x − 2 ≥ 36}

⇒ Domain ((fof)of) = { x : x ∈ [2,∞) and  x ≥ 38 }

⇒ Domain ((fof)of) = { x : x ≥ 38}

⇒ Domain ((fof)of) = [ 38, ∞ ) 

fof : [38,∞)→ R

So, ((fof)of)  (x) = (fof) (f (x))

= (fof) `(sqrt(x-2))`

= `sqrt (sqrt (sqrt(x-2) -2 )-2)`

(iii) We have, (fofof) (x) = `sqrt (sqrt (sqrt(x-2) -2 )-2)`

So, (fofof) (38) = `sqrt (sqrt (sqrt(38-2) -2 )-2)`

=`sqrt (sqrt (sqrt(36) -2 )-2)`

=`sqrt (sqrt(6-2) -2 )`

 = `sqrt (2 -2)`

 = 0

(iv) We have, fof = `sqrt (sqrt(x-2) -2 )`

` f^2 (x) = f (x) xx f (x) = sqrt(x - 2) xx sqrt(x - 2) = x -2`

So, fof ≠ `f^2`