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प्रश्न
कोई वर्ग एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के अंतर्गत इस प्रकार है कि वर्ग और त्रिभुज में एक कोण उभयनिष्ठ है। दर्शाइए कि वर्ग का शीर्ष जो उभयनिष्ठ कोण के शीर्ष के सम्मुख है कर्ण को समद्विभाजित करता है।
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उत्तर
दिया है - एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में एक वर्ग ΔDEF बना हुआ है।
सिद्ध करना है - CE = BE
प्रमाण - एक समद्विबाहु ΔABC में,
∠A = 90°
और AB = AC ...(i)
चूँकि, ΔDEF एक वर्ग है।
AD = AF [वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।] ...(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर, हम पाते हैं।
AB – AD = AC – AF
BD = CF ...(iii)
अब, ΔCFE और ΔBDE में,
BD = CF ...[समीकरण (iii) से]
DE = EF ...[वर्ग की भुजाएँ]
और ∠CFE = ∠EDB ...[प्रत्येक 90°]
ΔCFE ≅ ΔBDE ...[SAS सर्वांगसमता नियम]
∴ CE = BE ...[CPCT द्वारा]
अतः, वर्ग का शीर्ष E कर्ण BC को समद्विभाजित करता है।
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