Question

कोई वर्ग एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के अंतर्गत इस प्रकार है कि वर्ग और त्रिभुज में एक कोण उभयनिष्ठ है। दर्शाइए कि वर्ग का शीर्ष जो उभयनिष्ठ कोण के शीर्ष के सम्मुख है कर्ण को समद्विभाजित करता है। 

Answer 1

दिया है - एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में एक वर्ग ΔDEF बना हुआ है।

सिद्ध करना है - CE = BE

प्रमाण - एक समद्विबाहु ΔABC में,

∠A = 90°

और AB = AC  ...(i)

चूँकि, ΔDEF एक वर्ग है।

AD = AF  [वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।] ...(ii)

समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर, हम पाते हैं।

AB – AD = AC – AF

BD = CF  ...(iii)

अब, ΔCFE और ΔBDE में,

BD = CF  ...[समीकरण (iii) से]

DE = EF   ...[वर्ग की भुजाएँ]

और ∠CFE = ∠EDB   ...[प्रत्येक 90°]

ΔCFE ≅ ΔBDE   ...[SAS सर्वांगसमता नियम]

∴ CE = BE   ...[CPCT द्वारा]

अतः, वर्ग का शीर्ष E कर्ण BC को समद्विभाजित करता है।