SSC (Marathi Medium) 10th Standard Board Exam [इयत्ता १० वी] - Maharashtra State Board Question Bank Solutions for Mathematics 2 - Geometry [गणित २ - भूमिती]

sec²θ + cosec²θ = sec²θ × cosec²θ  

cot²θ - tan²θ = cosec²θ - sec²θ 

tan⁴θ + tan²θ = sec⁴θ - sec²θ 

`1/(1 - sinθ) + 1/(1 + sinθ)` = 2sec²θ

sec⁶x - tan⁶x = 1 + 3sec²x × tan²x  

`tanθ/(secθ + 1) = (secθ - 1)/tanθ`

`(tan^3θ - 1)/(tanθ - 1)` = sec²θ + tanθ 

`(sin θ - cos θ + 1)/(sin θ + cos θ - 1) = 1/(sec θ - tan θ)`

दिलेल्या महितीवरून रेषा PQ || बाजू BC आहे का ते ठरवा.

AP = 2, PB = 4, AQ = 3, QC = 6

पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी 4 पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक उत्तराचा योग्य पर्याय निवडून त्याचे वर्णाक्षर लिहा.

एका चौरसाचा कर्ण `10sqrt2` सेमी असल्यास त्याची परिमिती ______ असेल.

सोबतच्या आकृतीत, ∆ABC मध्ये, AB = BC, AC = 5`sqrt2`, AB ⊥ BC, तर ABC ची उंची किती?

सोबतच्या आकृतीत, ∆MNK मध्ये, ∠MNK = 90°, ∠M = 45° MK = 6, तर MN व KN काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा. 

कृती: ∆MNK मध्ये,

∠MNK = 90°, ∠M = 45° ……[पक्ष] 

∴ ∠K = `square`.... [∆MNK च्या उरलेल्या कोनाचे माप],

∆MNK हा 45° – 45° – 90° त्रिकोण आहे,

45° – 45° – 90° त्रिकोणाच्या प्रमेयानुसार,

`square = 1/sqrt2"MK"` व `square = 1/sqrt2"MK".`

∴ MN = `1/sqrt2 xx square` व KN = `1/sqrt2 xx 6`

∴ MN = `3sqrt2` व KN = `3sqrt2`

सोबतच्या आकृतीत, ∆ABC मध्ये, AD ⊥ BC, ∠C = 45° AC = `8sqrt2` BD = 5, तर AD व BC काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती: ∆ADC मध्ये,

∠ADC = 90°, ∠C = 45° …....[पक्ष]

∴ ∠DAC = `square` ........[∆ADC च्या उरलेल्या कोनाचे माप],

∆ADC हा 45° – 45° – 90° त्रिकोण आहे,

45° – 45° – 90° त्रिकोणाच्या प्रमेयानुसार,

`square = 1/sqrt2"AC"` व `square = 1/sqrt2"AC"`

∴ AD = `1/sqrt2 xx square` व DC = `1/sqrt2 xx 8sqrt2`

∴ AD = `1/sqrt2 xx 8sqrt2` व DC = `1/sqrt2 xx 8sqrt2`

∴ AD = 8 व DC = 8

BC = BD + DC = 5 + 8 = 13 

जर बिंदू P(1, 1) हा बिंदू A आणि B(–1, –1) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडास 5:2 या गुणोत्तरात छेदत असेल,तर A या बिंदूचे निर्देशक काढा.

जर A(–5, 3) आणि B(3, –5) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला बिंदू P हा 1:3 या गुणोत्तरात विभागत असेल, तर P चे निर्देशक ______ 

बिंदू A(3, 5) आणि B(7, 9) असून बिंदू Q हा रेख AB चे 2:3 या गुणोत्तरात विभाजन करत असेल तर Q या बिंदूचे x निर्देशक काढा.

A(8, 9) आणि B(1, 2) यांना जोडणाऱ्या रेख AB ला बिंदू P(6, 7) ज्या गुणोत्तरात विभागतो ते गुणोत्तर शोधा.

कृती: बिंदू P हा रेख AB ला m : n या गुणोत्तरात विभागतो.

A(8, 9) = (x₁, y₁), B(1, 2) = (x₂, y₂) P(6, 7) = (x, y)

विभाजन सूत्रानुसार, 

∴ 7 = `(m(square) - n(9))/(m + n)`

∴ 7m + 7n = `square` + 9n

∴ 7m - `square` = 9n - `square`

∴ `square` = 2n

∴ `m/n  = square` 

बिंदू P(–4, 6) हा A(–6, 10) आणि B(m, n) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला 2:1 या गुणोत्तरात विभागतो, तर बिंदू B चे निर्देशक काढा.

A(3, 5) आणि B(–6, 7) या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला Y–अक्ष कोणत्या गुणोत्तरात विभागतो? तसेच त्या बिंदूचे निर्देशक काढा.

3 सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा. वर्तुळावर कोणताही एक बिंदू k घ्या. K मधून वर्तुळकेंद्राचा वापर न करता स्पर्शिका काढा.