Hindi Medium Class 9 [कक्षा ९] - CBSE Question Bank Solutions for Mathematics (गणित)

दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।

बिंदु D और E क्रमश: ΔABC कि भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar(DBC) = ar(EBC) है  दर्शाइए कि DE || BC है |

समान्तर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिंदु P तक बढाया गया है | A से होकर CP के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है | दर्शाइए कि ar(ABCD) = ar(PBQR) है |

[संकेत: AC और PQ को मिलाइए अब ar(ACQ) और ar(APQ) कि तुलना कीजिये]

ABCDE एक पंचभुज है| B से होकर AC के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई DC को F पर मिलती है | दर्शाइए कि

(i) ar(ACB) = ar(ACF)

(ii) ar(AEDF) = ar(ABCDE)

गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध् के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।

दी गई आकृति में, AP || BQ || CR है | सिद्ध कीजिए कि ar(AQC) = ar(PBR) है |

चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AOD) = ar (BOC) है सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है |

दी गई आकृति में, ar(DRC) = ar(DPC) है और ar(BDP) = ar(ARC) है | दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब है |

समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए की समांतर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।

आकृति में, ABCD, DCFE और ABFE समांतर चतुर्भुज हैं। दर्शाइए कि ar (ADE) = ar (BCF) है।

आकृति में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BC को एक बिंदु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ, DC को P पर काटती है, तो दर्शाइए कि ar(BPC) = ax(DPQ)

[संकेत AC को मिलाइए।]

आकृति में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D, भुजा BC का मध्य-बिंदु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि

(i) ar (BDE) = `1/4` ar (ABC)

(ii) ar (BDE) = `1/2` ar (BAE)

(iii) ar (ABC) = 2 ar (BEC)

(iv) ar (BFE) = ar (AFD)

(v) ar (BFE) = 2 ar (FED)

(vi) ar (FED) = `1/8`ar (AFC)

[संकेत : EC और AD को मिलाइए। दिखाओ कि BE || AC and DE || AB, आदि]

चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD एक दूसरे को P पर काटते हैं। दर्शाइए कि ar (APB) × ar (CPD) = ar (APD) × ar (BPC) है।

[संकेत : A और C से BD पर लंब खींचिए।]

P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिंदु हैं और R, रेखाखंड AP का मध्य-बिंदु है, दर्शाइए कि

(i) ar(PRQ) = `1/2` ar(ARC)

(ii) ar(RQC) = `3/8` ar(ABC)

(iii) ar(PBQ) = ar(ARC)

आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः BC, CA और AB भुजाओं पर वर्ग हैं। रेखा खंड AX ⊥ DE, भुजा BC से Y पर मिलता है। दर्शाइए कि:

(i) ΔMBC ≅ ΔABD

(ii) ar (BYXD) = 2 ar(MBC)

(iii) ar (BYXD) = ar(ABMN)

(iv) ΔFCB ≅ ΔACE

(v) ar(CYXE) = 2 ar(FCB)

(vi) ar (CYXE) = ar(ACFG)

(vii) ar (BCED) = ar(ABMN) + ar(ACFG)

नोट: परिणाम (vii) पाइथागोरस का प्रसिद्ध प्रमेय है। आप कक्षा X में इस प्रमेय के सरल प्रमाण के बारे में जानेंगे।

निम्नलिखित माप के कोण की रचना कीजिए:- 15°

एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 75° और AB + AC = 13 सेमी हो।

एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 8 सेमी, ∠B = 45° और AB – AC = 3.5 सेमी हो।

एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए, जिसमें QR = 6 सेमी, ∠Q = 60° और PR – PQ = 2 सेमी हो।

एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए, जिसमें ∠Y = 30°, ∠Z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 सेमी हो।