Arts (Hindi Medium) Class 12 [कक्षा १२] - CBSE Question Bank Solutions

सिद्ध कीजिए कि f(x) = |x| द्वारा प्रदत्त मापांक फलन f : R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ |x| बराबर x, यदि x धन या शून्य है तथा |x| बराबर − x, यदि x ऋण है।

सिद्ध कीजिए कि f : R → R, f(x) = `{(1", यदि"  x > 0), (0", यदि"  x = 0), (-1", यदि"  x < 0):}` द्वारा प्रदत्त चिन्ह फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है।

मान लीजिए कि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} तथा f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} A से B तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है।

निम्नलिखित स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

f(x) = 3 − 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।

निम्नलिखित स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

f(x) = 1 + x² द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।

मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f : A × B → B × A, इस प्रकार कि f(a, b) = f(b, a) एक एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।

मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए, f(n) = `{((n+1)/2", यदि n विषम है"),(n/2", यदि n सम है"):}` द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बतलाइए कि क्या फलन f  एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

मान लीजिए कि A = R − {3} तथा B = R − {1} हैं। f(x) = `((x - 2)/(x - 3))` द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

मान लीजिए कि f : R → R, f (x) = x⁴  द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।

मान लीजिए कि f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है। सही उत्तर चुनिए:

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:

3sin⁻¹x = sin⁻¹(3x − 4x³), `x ∈ [-1/2, 1/2]`

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:

3cos⁻¹x = cos⁻¹(4x³ − 3x), `x ∈ [1/2, 1]`

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:

`"tan"^-1  2/11 + "tan"^-1 7/24 = "tan" ^-1 1/2`

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:

`2  "tan"^-1 1/2 + "tan"^-1 1/7 = "tan"^-1 31/17`

निम्नलिखित फलन को सरलतम रूप में लिखिए:

`tan^(-1)  (sqrt(1+x^2) -1)/x`, x ≠ 0

निम्नलिखित फलन को सरलतम रूप में लिखिए:

`"tan"^-1 1/sqrt("x"^2 - 1), abs "x" > 1`

निम्नलिखित फलन को सरलतम रूप में लिखिए:

`tan^(-1) (sqrt((1-cos x)/(1 + cos x)))`, 0 < x < π

निम्नलिखित फलन को सरलतम रूप में लिखिए:

`tan^-1 ((cos x - sin x)/(cos x + sin x)), (-pi)/4 < x < (3 pi)/4`

निम्नलिखित फलन को सरलतम रूप में लिखिए:

`tan^(-1)  x/(sqrt(a^2 - x^2))`, |x| < a

निम्नलिखित फलन को सरलतम रूप में लिखिए:

`tan^-1 ((3 a^2 x - x^3)/(a^3 - 3 ax^2)), a > 0; (-a)/sqrt3 < x < a/sqrt3`