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Question
मान लीजिए कि A = R − {3} तथा B = R − {1} हैं। f(x) = `((x - 2)/(x - 3))` द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
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Solution
A = R − {3}, B = R − {1}
f(x) = `((x - 2)/ (x - 3))` द्वारा परिभाषित फलन f : A → B
मान लीजिए x, y ∈ A इस प्रकार है कि f(x) = f(y)
⇒ `(x -2)/(x - 3) = (y - 2)/(y - 3)`
⇒ (x − 2) (y − 3) = (y − 2) (x − 3)
⇒ xy − 3x − 2y + 6 = xy − 3y − 2x + 6
⇒ − 3x − 2y = − 3y − 2x
⇒ 3x − 2x = 3y − 2y
⇒ x = y
∴ f एकैकी फलन है।
मान लीजिए y ∈ B = R − {1}। तब, y ≠ 1।
फलन f आच्छादक होगा यदि x ∈ A के लिए, f(x) = y
इसलिए f(x) = y
⇒ `(x -2)/(x - 3) = y`
⇒ x − 2 = xy − 3y
⇒ x(1 − y) = −3y + 2
⇒ `x = (2-3y) / (1- y) ∈ A` ...[y ≠ 1]
y ∈ B, `(2 - 3y)/ (1 - y) ∈ A` का अस्तित्व इस प्रकार है कि,
`f(2 - 3y)/(1- y) = (((2-3y)/(1-y)) -2)/(((2-3y)/(1-y)) - 3)`
= `(2-3y - 2 + 2y)/(2-3y - 3 + 3y)`
= `(-y)/(-1)`
= y
∴ f आच्छादक है।
अतः फलन f एकैकी और आच्छादक है।
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