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Question
निम्नलिखित फलन की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
f(x) = x2 द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।
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Solution
f(x) = x2 द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।
यहाँ, Z = {0, ±1, ±2, ±3, ....}
एकैक (Injective):
मान लीजिए f(−1) = f(1) = 1
लेकिन −1 ≠ 1
इसलिए, f एकैकी फलन नहीं है।
आच्छादी (Surjective):
सहप्रांत Z में ऐसे कई अवयव हैं जिनकी प्रांत Z में कोई पूर्व-छवि नहीं होती।
उदाहरण के लिए, 2 ∈ Z एक सहप्रांत का अवयव है, लेकिन f(x) = x2 के लिए कोई भी ऐसा x ∈ Z नहीं है जिससे f(x) = 2 हो, क्योंकि `sqrt2` कोई पूर्णांक नहीं है।
इसलिए, f आच्छादक नहीं है।
अतः f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।
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