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Question
वक्र y2 = 2x और x2 + y2 = 4x से परिंबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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Solution
वक्रों के समीकरण x2 + y2 = 4x द्वारा दिए गए हैं ......(i)
और y2 = 2x ......(ii)
⇒ x2 – 4x + y2 = 0
⇒ x2 – 4x + 4 – 4 + y2 = 0
⇒ (x – 2)2 + y2 = 4
स्पष्ट रूप से यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र (2, 0) और त्रिज्या 2 है।
x2 + y2 = 4x और y2 = 2x को हल करना
x2 + 2x = 4x
⇒ x2 + 2x – 4x = 0
⇒ x2 – 2x = 0
⇒ x(x – 2) = 0
∴ x = 0, 2
वाँछित क्षेत्र का क्षेत्रफल
= `2[int_0^2 sqrt(4 - (x - 2)^2) "d"x - int_0^2 sqrt(2x) "d"x]`
∴ परवलय और वृत्त दोनों x-अक्ष के परितः सममित हैं।
= `2[(x - 2)/2 sqrt(4 - (x - 2)^2) + 4/2 sin^-1 (x - 2)/2]_0^2 - 2*sqrt(2)* 2/3 [x^(3/2)]_0^2`
= `2[(0 + 0) - (0 + 2 sin^-1 (-1)] - (4sqrt(2))/3 [2^(3/2) - 0]`
= `-2 xx 2 * (- pi/2) - (4sqrt(2))/3 * 2sqrt(2)`
= `2pi - 16/3`
= `2(pi - 8/3)` वर्ग इकाई
इस प्रकार, वाँछित क्षेत्रफल = `2(pi - 8/3)` वर्ग इकाई
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