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Question
उदाहरण 9 पर ध्यान कीजिए | आहार में विटामिन A की मात्रा का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए? आहार में विटामिन A की अधिकतम मात्रा क्या है?
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Solution
आहार में क्रमशः खाद्य पदार्थ P और Q के x और y पैकेट होते हैं | इसलिए, x 20 और y 20 दी गई समस्या का गणितीय सूत्रीकरण इस प्रकार है | अधिकतम करें z = 6x + 3y ...........(1)
बाधाओं के अधीन,
4x + y ≥ 80 ...............(2)
x + 5y ≥ 115 .........(3)
3x + 2y ≤ 150 ...............(4)
x, y ≥ 0 .............(5)
बाधाओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित व्यवहार्य क्षेत्र प्रकार है:
संभव क्षेत्र के कोने बिंदु A(15, 20), B(40, 15) और C(2, 72) हैं | इन कोने बिंदुओं पर z का मान इस प्रकार है |
| Corner point | x = 6x + 3y | |
| A(15, 20) | 150 | |
| B(40, 15) | 285 | → Maximum |
| C(2, 72) | 228 |
इस प्रकार, z का अधिकतम मान 285(40, 15) है | इसलिए, आहार में विटामिन ए की मात्रा को अधिकतम करने के लिए, भोजन के 40 पैकेट पी और 15 पैकेट भोजन क्यू का उपयोग करना चाहिए | आहार में विटामिन ए की अधिकतम मात्रा 285 यूनिट है |
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एक निर्माणकर्ता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण में मशीन A पर एक घंटा और मशीन B पर 3 घंटे काम करना पड़ता है, जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घंटे मशीन A पर और 1 घंटा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों से Rs 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों पर Rs 7.00 प्रति पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घंटे किया जाए तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट उत्पादित किए जाएँ ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके।
एक कारखाने में दो प्रकार के पेंच A और B बनते हैं। प्रत्येक-के निर्माण में दो मशीनों के प्रयोग की आवश्यकता होती है, जिसमें एक स्वचालित और दूसरी हस्तचालित है। एक पैकेट पेंच A के निर्माण में 4 मिनट स्वचालित और 6 मिनट हस्तचालित मशीन, तथा एक पैकेट पेंच B के निर्माण में 6 मिनट स्वचालित और 6 मिनट हस्तचालित मशीन का कार्य होता है। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन के लिए अधिकतम 4 घंटे काम के लिए उपलब्ध है। निर्माता पेंच A के प्रत्येक पैकेट पर Rs 7 और पेंच B के प्रत्येक पैकेट पर Rs 10 का लाभ कमाता है। यह मानते हुए कि कारखाने में निर्मित सभी पेंचों के पैकेट बिक जाते हैं, ज्ञात कीजिए कि प्रतिदिन कितने पैकेट विभिन्न पेंचों के बनाए जाएँ जिससे लाभ अधिकतम हो तथा अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।
एक कुटीर उद्योग निर्माता पैडेस्टल लैंप और लकड़ी के शेड बनाता है | प्रत्येक के निर्माण में एक रगड़ने/काटने और एक स्प्रेयर की आवश्यकता पड़ती है | एक लैंप के निर्माण में 2 घंटे रगड़ने/काटने और 3 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है, जबकि एक शेड के निर्माण में 1 घंटा रगड़ने/काटने और 2 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है | स्प्रेयर की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 20 घंटे और रगड़ने/काटने की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 12 घंटे के लिए उपलब्ध है | एक लैंप की बिक्री पर Rs 5 और एक शेड की बिक्री पर Rs 3 का लाभ होता है | यह मानते हुए कि सभी निर्मित लैंप और शेड बिक जाते है, तो बताइए वह निर्माण की प्रतिदिन कैसी योजना बनाए कि लाभ अधिकतम हो?
एक कंपनी प्लाईवुड के अनूठे स्मृति चिन्ह का निर्माण करती है। A प्रकार के प्रति स्मृति चिन्ह के निर्माण में 5 मिनट काटने और 10 मिनट जोड़ने में लगते हैं। B प्रकार के प्रति स्मृति चिन्ह के लिए 8 मिनट काटने और 8 मिनट जोड़ने में लगते हैं। दिया गया है कि काटने के लिए कुल समय 3 घंटे 20 मिनट तथा जोड़ने के लिए 4 घंटे उपलब्ध हैं। प्रत्येक A प्रकार स्मृति चिन्ह पर Rs 5 और प्रत्येक B प्रकार के स्मृति चिन्ह पर Rs 6 का लाभ होना है। ज्ञात कीजिए कि लाभ के अधिकतमीकरण के लिए प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने स्मृति चिन्हों का कंपनी द्वारा निर्माण होना चाहिए?
एक सौदागर दो प्रकार के निजी कंप्यूटर-एक डेस्कटॉप नमूना और दूसरा पोर्टेबल नमूना, जिनकी कीमतें क्रमशः Rs 25,000 और Rs 40,000 होगी, बेचने की योजना बनाता है | वह अनुमान लगाता है कि कंप्यूटरों की कुल मासिक माँग 250 नगों से अधिक नहीं होगी | प्रत्येक प्रकार के कंप्यूटरों के नगों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसे सौदागर अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए संग्रह करें यदि उसके पास निवेश के लिए Rs 70 लाख से अधिक नहीं है और यदि डेस्कटॉप नमूने पर उसका लाभ Rs 4500 और पोर्टेबल नमूने पर Rs 5000 लाभ हो |
एक भोज्य पदार्थ में कम से कम 80 मात्रक विटामिन A और 100 मात्रक खनिज होना चाहिए। दो प्रकार के भोज्य F1 और F2 उपलब्ध हैं। भोज्य F1 की लागत Rs 4 प्रति मात्रक और F2 की लागत Rs 5 प्रति मात्रक है। भोज्य F1 की एक इकाई में कम से कम ३ मात्रक विटामिन A और 4 मात्रक खनिज है। F2 की प्रति इकाई में कम से कम 6 मात्रक विटामिन A और 3 मात्रक खनिज हैं। इसको एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या के रूप में सूत्रबध्द कीजिए। उस आहार का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए, जिसमें इन दो भोज्यों का मिश्रण है और उसमें न्यूनतम पोषक तत्व हैं।
दो प्रकार के उर्वरक F1 और F2 है | F1 में 10% नायट्रोजन और 6% फास्फोरिक अम्ल है। तथा F2 में 5% नाइट्रोजन तथा 10% फास्फोरिक अम्ल है। मिट्टी की स्थितिओं का परिक्षण करने के पश्चात् एक किसान पाता है कि उसे अपनी फसल के लिए 14 kg नाइट्रोजन और 14 kg फास्फोरिक अम्ल की आवश्यकता है। यदि F1 की कीमत Rs 6/kg और F2 की कीमत Rs 5/kg है, प्रत्येक प्रकार का कितना उर्वरक उपयोग के लिए चाहिए ताकि न्यूनतम मूल्य पर वांछित पोषक तत्व मिल सके। न्यूनतम लागत क्या है।
निम्नलिखित असमीकरण निकायः 2x + y ≤ 10, x + 3y ≤ 15, x, y ≥ 0 से निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिंदु: (0, 0), (5, 0), (3, 4) और (0, 5) है। मानाकि Z = px + qy, जहाँ p, q > 0 p तथा q के लिए निम्नलिखित में कौन प्रतिबंध उचित है ताकि Z का अधिकतम (3, 4) और (0, 5) दोनों पर घटित होता है-
एक खिलौना कंपनी, A और B दो प्रकार की गुड़ियों का निर्माण करती है। मार्किट परीक्षणों तथा उपलब्ध संसाधनों से संकेत मिलता है कि सम्मिलित उत्पादन स्तर प्रति सप्ताह 1200 गुड़ियों से अधिक नहीं होना चाहिए और B प्रकार की गुड़ियों की अधिक से अधिक माँग A प्रकार की गुड़ियों की आधी है। इसके अतिरिक्त A प्रकार गुड़ियों का उत्पादन स्तर दूसरे प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से 600 नग अधिक है। यदि कंपनी A और B प्रत्येक गुड़ियों पर क्रमशः Rs 12 और Rs 16 का लाभ कमाती है, लाभ का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक के कितने नगों का साप्ताहिक उत्पादन करना चाहिए।
उपरोक्त प्रश्न 8 पर ध्यान दीजिए | यदि उत्पादक बाग में मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का अधिकतमीकरण चाहता है तो मिश्रण के कितने थैलों को मिलाया जाना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा क्या है?
एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग क्र सकता है | मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फास्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में) सारणी में दिया गया है | परिक्षण संकेत देते है कि बाग को कम से कम 250 kg फास्फोरिक अम्ल, कम से कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक से अधिक 310 kg की आवश्यकता है |
एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने A और B बनाता है। इस उदेश्य के लिए निर्माण में तीन मशीनों की आवश्यकता पड़ती है और प्रत्येक प्रकार के खिलौने के निर्माण के लिए लगा समय (मिनटों में) निम्नलिखित है।
| खिलौने के प्रकार | मशीन | ||
| I | II | III | |
| A | 12 | 18 | 6 |
| B | 6 | 0 | 9 |
प्रत्येक मशीन अधिकतम 6 घंटे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध है। यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर Rs 7.50 लाभ और B प्रकार के खिलौने पर Rs 5 का लाभ हो तो दर्शाइए कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार 30 खिलौने निर्मित होने चाहिए।
दो अन्न भंडारों A और B की भंडारण क्षमता क्रमशः 100 क्विंटल और 50 क्विंटल है। उन्हें तीन राशन की दुकानों D, E और F पर अन्न उपलब्ध कराना पड़ता है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 60, 50 और 40 क्विंटल हैं।
भंडारों से दुकानों को प्रति क्विंटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार है:
| प्रति क्विंटल परिवहन व्यय (रुपयों में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 6 | 4 |
| E | 3 | 2 |
| F | 2.50 | 3 |
परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है?
एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है | मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फास्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में) सारणी में दिया गया है | परिक्षण संकेत देते है कि बाग को कम से कम 250 kg फास्फोरिक अम्ल, कम से कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक से अधिक 310 kg की आवश्यकता है |
यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तथा, प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?
| kg प्रति थैला | ||
| ब्रांड P | ब्रांड Q | |
| नाइट्रोजन | 3 | 3.5 |
| फास्फोरिक अम्ल | 1 | 2 |
| पोटाश | 3 | 1.5 |
| क्लोरीन | 1.5 | 2 |
