Question

रेशमा दो प्रकार के भोज्य P और Q को इस प्रकार मिलाना चाहती है कि मिश्रण में विटामिन अवयवों में 8 मात्रक विटामिन A तथा 11 मात्रक विटामिन B हों | भोज्य P की लागत Rs 60/kg और भोज्य Q की लागत Rs 80/kg है | भोज्य P में 3 मात्रक/kg विटामिन A और 5 मात्रक/kg विटामिन B है जबकि भोज्य Q में 4 मात्रक/kg विटामिन A और 2 मात्रक/kg विटामिन है | मिश्रण की न्यूनतम लागत ज्ञात कीजिए |

Answer 1

माना कि मिश्रण में भोज्य P का x kg और भोज्य Q का y kg है | स्पष्ट्तः x ≥ 0, y ≥ 0 हम दिए हुए आंकड़ों से एक सारणी तैयार करते है |

स्रोत	भोज्य पदार्थ P (x)	भोज्य पदार्थ Q (y)	आवश्यकता (मात्रकों में)
विटामिन A (मात्रक/kg) विटामिन B (मात्रक/kg)	3 5	4 2	8 11
लागत (Rs/kg)	60	80

चूँकि मिश्रण में विटामिन A की कम से कम 8 मात्रक विटामिन C के 11 मात्रक होने चाहिए, अतः निम्नलिखित व्यवरोध प्राप्त होते हैं

3x + 4y ≥ 8

5x + 2y ≥ 11

भोज्य P के x kg और भोज्य Q के y kg खरीदने का कुल मूल्य Z हैं जहाँ Z = 60x + 80y अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:

निम्न व्ययरोधों के अंतर्गत

3x + 4y ≥ 8

5x + 2y ≥ 11

x ≥ 0, y ≥ 0

Z = 60x + 80y का न्यूनतमीकरण कीजिए

कोनीय बिंदु	Z = 60x + 80y
A`(8/3, 0)`	160	न्यूनतम
B`(2, 1/2)`	160	न्यूनतम
C`(0, 11/2)`	440

यहाँ हमने देखा है की सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, इसलिए 160 की Z न्यूनतम मान हो भी सकता है और नहीं भी | अब इसके लिए हमें निम्नलिखित असमीकरण का आलेख खींचना पड़ेगा

60x + 80y < 160

3x + 4y < 8

और अब जाँच करते है की क्या असमीकरण द्वारा निर्धारित परिणामी खुला अर्धतल, सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ट बिंदु रखता है |

यहाँ ये पाया गया की सुसंगत क्षेत्र में असमीकरण 3x + 4y < 8 के साथ कोई उभयनिष्ट बिंदु नहीं है |

इसलिए मिश्रण की न्यूनतम लागत Rs 160 है |