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Question
एक निर्माणकर्ता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण में मशीन A पर एक घंटा और मशीन B पर 3 घंटे काम करना पड़ता है, जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घंटे मशीन A पर और 1 घंटा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों से Rs 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों पर Rs 7.00 प्रति पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घंटे किया जाए तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट उत्पादित किए जाएँ ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके।
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Solution
माना कि निर्माणकर्ता नट के x पैकेट और बोल्टो के y पैकेट निर्माण करता है। स्पष्ट्तः x ≥ 0, y ≥ 0, दिए हुए आंकड़ों से एक सारणी तैयार करते है।
| नट | बोल्ट | आवश्यकता | |
| मशीन A (घंटे) | 1 | 3 | 12 |
| मशीन B (घंटे) | 3 | 1 | 12 |
नटो से Rs 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टो पर Rs 7.00 प्रति पैकेट लाभ है।
व्यवरोध प्राप्त होते हैं
x + 3y ≤ 12
3x + y ≤ 12
कुल लाभ, Z = 17.5x + 7y
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित हैं:
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
x + 3y ≤ 12
3x + y ≤ 12
x ≥ 0, y ≥ 0
Z = 17.5x + 7y का अधिकतमीकरण कीजिए,
कोनीय बिंदु A(4, 0), B(3, 3), O(0, 0) और C(0, 4),
| कोनीय बिंदु | Z = 20x + 10y | |
| A(4, 0) | 70 | |
| B(3, 3) | 73.5 | अधिकतम |
| O(0, 0) | 0 | |
| C(0, 4) | 28 |
Z का अधिकतम मान (3, 3) पर 73.50 है,
अतः हम कह सकते है की निर्माणकर्ता को अधिकतम लाभ के लिए प्रति दिन 3 पैकेट नट और 3 पैकेट बोल्ट का निर्माण करना चाहिए एवं अधिकतम लाभ है Rs 73.50 है।
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| खिलौने के प्रकार | मशीन | ||
| I | II | III | |
| A | 12 | 18 | 6 |
| B | 6 | 0 | 9 |
प्रत्येक मशीन अधिकतम 6 घंटे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध है। यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर Rs 7.50 लाभ और B प्रकार के खिलौने पर Rs 5 का लाभ हो तो दर्शाइए कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार 30 खिलौने निर्मित होने चाहिए।
दो अन्न भंडारों A और B की भंडारण क्षमता क्रमशः 100 क्विंटल और 50 क्विंटल है। उन्हें तीन राशन की दुकानों D, E और F पर अन्न उपलब्ध कराना पड़ता है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 60, 50 और 40 क्विंटल हैं।
भंडारों से दुकानों को प्रति क्विंटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार है:
| प्रति क्विंटल परिवहन व्यय (रुपयों में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 6 | 4 |
| E | 3 | 2 |
| F | 2.50 | 3 |
परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है?
एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है | मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फास्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में) सारणी में दिया गया है | परिक्षण संकेत देते है कि बाग को कम से कम 250 kg फास्फोरिक अम्ल, कम से कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक से अधिक 310 kg की आवश्यकता है |
यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तथा, प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?
| kg प्रति थैला | ||
| ब्रांड P | ब्रांड Q | |
| नाइट्रोजन | 3 | 3.5 |
| फास्फोरिक अम्ल | 1 | 2 |
| पोटाश | 3 | 1.5 |
| क्लोरीन | 1.5 | 2 |
एक तेल कारखाने में दो डिपो A तथा B हैं, जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लिटर और 4000 लिटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पंपों D, E और F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लिटर, 3000 लिटर और 3500 लिटर की है। डिपो से पेट्रोल पंपों की दूरियाँ (km में) निम्नांकित सारणी के अनुसार है:
| दूरियाँ (km में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 7 | 3 |
| E | 6 | 4 |
| F | 3 | 2 |
यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लिटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है, ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?
