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Question
एक कारखाने में टेनिस के रैकेट तथा क्रिकेट के बल्ले बनते हैं। एक टेनिस रैकेट बनाने के लिए 1.5 घंटा यांत्रिक समय तथा 3 घंटा शिल्पकार का समय लगता है। एक क्रिकेट बल्ले को तैयार करने में 3 घंटे यांत्रिक समय तथा 1 घंटा शिल्पकार का समय लगता है। एक दिन में कारखाने में विभिन्न यंत्रों पर उपलब्ध यांत्रिक समय के 42 घंटे और शिल्पकार समय के 24 घंटे से अधिक नहीं हैं।
- रैकेटों और बल्लों को कितनी संख्या में बनाया जाए ताकि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे?
- यदि रैकेट और बल्ले पर लाभ क्रमशः Rs 20 तथा Rs 10 हों तो कारखाने का अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए यदि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे।
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Solution
(i) माना कि टेनिस के रैकेट की संख्या x है और क्रिकेट के बल्लों की संख्या y है | स्पष्ट्तः x ≥ 0, y ≥ 0 |
यांत्रिक समय का अधिकतम समय 42 घंटे हैं:
⇒ 1.5x + 3y ≤ 42
शिल्पकार समय का अधिकतम समय 24 घंटे हैं:
⇒ 3x + y ≤ 24
कारखाना पूरी क्षमता से कार्य कर रहा हैं, इसलिए
1.5x + 3y = 42
3x + y = 24
⇒ x = 4, y = 12
(ii) हम दिए हुए आंकड़ों से एक सारणी तैयार करते है।
| टेनिस के रैकेट | क्रिकेट के बल्ले | आवश्यकता | |
| यांत्रिक समय (घंटे) | 1.5 | 3 | 42 |
| शिल्पकार समय (घंटे) | 3 | 1 | 24 |
1.5x + 3y ≤ 42
3x + y ≤ 24
रैकेट और बल्ले पर लाभ क्रमशः Rs 20 और Rs 10 है,
⇒ Z = 20x + 10y
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित हैं:
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
1.5x + 3y ≤ 42
3x + y ≤ 24
x ≥ 0, y ≥ 0
Z = 20x + 10y का अधिकतमीकरण कीजिए,
कोनीय बिंदु A(8, 0), B(4, 12), O(0, 0) और C(0, 14)
| कोनीय बिंदु | Z = 20x + 10y | |
| A(8, 0) | 160 | |
| B(4, 12) | 200 | अधिकतम |
| O(0, 0) | 0 | |
| C(0, 14) | 140 |
कारखाने का अधिकतम लाभ जब कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे।
= Rs 200
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| खिलौने के प्रकार | मशीन | ||
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| प्रति क्विंटल परिवहन व्यय (रुपयों में) | ||
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| kg प्रति थैला | ||
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| नाइट्रोजन | 3 | 3.5 |
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