Question

संलग्न आकृति में समांतर चतुर्भुज `square` ABCD की भुजाओं पर P, Q, R, S इस प्रकार है कि, AP = BQ = CR = DS तो सिद्ध कीजिए कि `square` PQRS समांतर चतुर्भुज है।

Answer 1

दत्त: `square` ABCD समांतर चतुर्भुज है।

AP = BQ = CR = DS

साध्य: `square` PQRS समांतर चतुर्भुज है।

उपपत्ति:

AP = CR       .....(दत्त) ...(i)

`square` ABCD समांतर चतुर्भुज है।

AB = CD       ...( समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)

∴ AP + PB = CR + RD      ....[A-P-B, D-R-C]    ....(ii)

∴ PB = RD      .....[(i) और (ii) से]    ...(iii)

∠ABC ≅ ∠ADC       ....(समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)

अर्थात, ∠PBQ ≅ ∠RDS      ...(A-P-B, B-Q-C, C-R-D और A-S-D)    ....(iv)

ΔPBQ तथा ΔRDS में,

रेख PB ≅ रेख RD      ....[(iii) से]

∠PBQ ≅ ∠RDS     ....[(iv) से]

रेख BQ ≅ रेख SD      ....(दत्त)

∴ ΔPBQ ≅ ΔRDS      ....(सर्वांगसमता की भु-को-भु कसौटी)

रेख PQ ≅ रेख RS       ....(स.त्रि.सं.भु) .....(v)

इस प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि, ΔPAS ≅ ΔRCQ,

∴ रेख PS ≅ रेख RQ       ....(vi)

`square` PQRS में,

रेख PQ ≅ रेख RS      ....[(v) से]

रेख PS ≅ रेख RQ      ....[(vi) से]

यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ सर्वांगसम हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।

∴ `square` PQRS समांतर चतुर्भुज है।