Question

संख्या n² – 1, 8 से विभाज्य होती है, यदि n है एक 

Options

• पूर्णांक

• प्राकृत संख्या

• विषम संख्या

• सम संख्या

Answer 1

विषम संख्या

स्पष्टीकरण:

आइए x = n² − 1

उपरोक्त समीकरण में, n या तो भी या विषम हो सकता है।

आइए हम मान लें कि n = यहां तक कि।

तो, जब n = यहां तक कि यानी, n = 2k

जहां k एक पूर्णांक है

हम पाते हैं,

`\implies` x = (2k)² − 1

`\implies` x = 4k² − 1

k = −1 पर,

x = 4(−1)² − 1

= 4 − 1

= 3, 8 से विभाज्य नहीं है।

k = 0 पर,

x = 4(0)² − 1

= 0 − 1

= −1, 8 से विभाज्य नहीं है

आइए हम मान लें कि n = विषम:

तो, जब n = विषम

यानी, n = 2k + 1

जहां k एक पूर्णांक है

हम पाते हैं,

`\implies` x = 2k + 1

`\implies` x = (2k + 1)² − 1

`\implies` x = 4k² + 4k + 1 − 1

`\implies` x = 4k² + 4k

`\implies` x = 4k(k + 1)

k = –1, x = 4(−1)(−1 + 1) = 0 पर जो 8 द्वारा विभाज्य है।

k = 0, x = 4(0)(0 + 1) = 0 पर जो 8 द्वारा विभाज्य है।

k = 1, x = 4(1)(1 + 1) = 8 पर जो 8 द्वारा विभाज्य है।

उपरोक्त दो अवलोकन से

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, यदि n विषम है, तो n² − 1, 8 से विभाज्य है।