Question

सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्या अपरिमेय हैं:

`6 + sqrt2`

Answer 1

∴ हम दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b पा सकते हैं जैसे कि `6 + sqrt2 = a/b`, जहाँ b ≠ 0

∴ `a/b - 6 = sqrt2`

या `sqrt2 = (a/b - 6)`

= `(a - 6b)/b`

(1) से, `sqrt2` एक परिमेय संख्या है, जो इस तथ्य का खंडन करती है कि `sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है।

∴ हमारा अनुमान गलत है।

= `6 sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है।

Answer 2

इसके विपरीत मान लीजिए कि `6 + sqrt2` एक परिमेय संख्या हैं।

हम किसी भी परिमेय संख्या को `p/q` के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q ≠ 0 है।

इसलिए,

`p/q = 6 + sqrt2`

और p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित कर एक सह-अभाज्य संख्या a तथा b प्राप्त कर सकते हैं।

अतः `6 + sqrt2 = a/b`

या `sqrt2 = a/b - 6`

या `sqrt2 = (a - 6b)/b`

चूँकि a तथा b पूर्णांक है और 6 भी पूर्णांक है।

इसलिए `(a - 6b)/b` एक परिमेय संख्या है जबकि वाया पक्ष `sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है।

इससे एक विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है कि `sqrt2` परिमेय संख्या है।

ऐसा विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि `6 + sqrt2` एक परिमेय संख्या है।

अतः `6 + sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है।