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Question
सिद्ध कीजिए, कि A(4, -1), B(6, 0), C(7, -2) और D(5, -3) वर्ग के शीर्ष बिंदु हैं।
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Solution
मानो कि, A(4, -1) = (x1, y1); B(6, 0) = (x2, y2); C(7, -2) = (x3, y3) तथा D(5, -3) = (x4, y4).
दूरी सूत्र से,
AB = `sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)`
= `sqrt((6 - 4)^2 + [0 - (-1)]^2)`
= `sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(4 + 1)`
= `sqrt5` ........................(1)
BC = `sqrt((x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2)`
= `sqrt((7 - 6)^2 + (-2 - 0)^2)`
= `sqrt((1)^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 4)`
= `sqrt5` ........................(2)
CD = `sqrt((x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2)`
= `sqrt((5 - 7)^2 + [-3 - (-2)]^2)`
= `sqrt((-2)^2 + (-3 + 2)^2)`
= `sqrt((-2)^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 1)`
= `sqrt5` ........................(3)
AD = `sqrt((x_4 - x_1)^2 + (y_4 - y_1)^2)`
= `sqrt((5 - 4)^2 + [-3 - (-1)]^2)`
= `sqrt((1)^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 4)`
= `sqrt5` ........................(4)
(1), (2), (3) तथा (4) से,
AB = BC = CD = AD
∴ `square`ABCD एक समचतुर्भुज है |
दूरी सूत्र से,
AC = `sqrt((x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2)`
= `sqrt((7 - 4)^2 + [-2 - (-1)]^2)`
= `sqrt((3)^2 + (-1)^2) = sqrt(9 + 1)`
= `sqrt10` .................................(5)
BD = `sqrt((x_4 - x_2)^2 + (y_4 - y_2)^2)`
= `sqrt((5 - 6)^2 + (-3 - 0)^2)`
= `sqrt((-1)^2 + (-3)^2) = sqrt(1 + 9)`
= `sqrt10` .................................(6)
समचतुर्भुज ABCD में,
AC = BD .........................[(5) और (6) से]
यदि किसी समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर सर्वांगसम हो, तो वह चतुर्भुज एक वर्ग होता है |
∴ `square`ABCD वर्ग है |
∴ A(4, -1); B(6, 0); C(7, -2) और D(5, -3) वर्ग के शीर्षबिंदु है |
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