Question

सिद्ध कीजिए, कि A(4, -1), B(6, 0), C(7, -2) और D(5, -3) वर्ग के शीर्ष बिंदु हैं।

Answer 1

मानो कि, A(4, -1) = (x₁, y₁); B(6, 0) = (x₂, y₂); C(7, -2) = (x₃, y₃) तथा D(5, -3) = (x₄, y₄). 

दूरी सूत्र से,

AB = `sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)`

= `sqrt((6 - 4)^2 + [0 - (-1)]^2)`

= `sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(4 + 1)`

= `sqrt5` ........................(1)

BC = `sqrt((x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2)`

= `sqrt((7 - 6)^2 + (-2 - 0)^2)`

= `sqrt((1)^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 4)`

= `sqrt5` ........................(2)

CD = `sqrt((x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2)`

= `sqrt((5 - 7)^2 + [-3 - (-2)]^2)`

= `sqrt((-2)^2 + (-3 + 2)^2)`

= `sqrt((-2)^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 1)`

= `sqrt5` ........................(3)

AD = `sqrt((x_4 - x_1)^2 + (y_4 - y_1)^2)`

= `sqrt((5 - 4)^2 + [-3 - (-1)]^2)`

= `sqrt((1)^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 4)`

= `sqrt5` ........................(4)

(1), (2), (3) तथा (4) से,

AB = BC = CD = AD

∴ `square`ABCD एक समचतुर्भुज है |

दूरी सूत्र से,

AC = `sqrt((x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2)`

= `sqrt((7 - 4)^2 + [-2 - (-1)]^2)`

= `sqrt((3)^2 + (-1)^2) = sqrt(9 + 1)`

= `sqrt10` .................................(5)

BD = `sqrt((x_4 - x_2)^2 + (y_4 - y_2)^2)`

= `sqrt((5 -  6)^2 + (-3 - 0)^2)`

= `sqrt((-1)^2 + (-3)^2) = sqrt(1 + 9)`

= `sqrt10` .................................(6)

समचतुर्भुज ABCD में,

AC = BD .........................[(5) और (6) से]

यदि किसी समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर सर्वांगसम हो, तो वह चतुर्भुज एक वर्ग होता है |

∴ `square`ABCD वर्ग है |

∴ A(4, -1); B(6, 0); C(7, -2) और D(5, -3) वर्ग के शीर्षबिंदु है |