Advertisements
Advertisements
Question
सिद्ध कीजिए, कि A(4, -1), B(6, 0), C(7, -2) और D(5, -3) वर्ग के शीर्ष बिंदु हैं।
Advertisements
Solution
मानो कि, A(4, -1) = (x1, y1); B(6, 0) = (x2, y2); C(7, -2) = (x3, y3) तथा D(5, -3) = (x4, y4).
दूरी सूत्र से,
AB = `sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)`
= `sqrt((6 - 4)^2 + [0 - (-1)]^2)`
= `sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(4 + 1)`
= `sqrt5` ........................(1)
BC = `sqrt((x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2)`
= `sqrt((7 - 6)^2 + (-2 - 0)^2)`
= `sqrt((1)^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 4)`
= `sqrt5` ........................(2)
CD = `sqrt((x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2)`
= `sqrt((5 - 7)^2 + [-3 - (-2)]^2)`
= `sqrt((-2)^2 + (-3 + 2)^2)`
= `sqrt((-2)^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 1)`
= `sqrt5` ........................(3)
AD = `sqrt((x_4 - x_1)^2 + (y_4 - y_1)^2)`
= `sqrt((5 - 4)^2 + [-3 - (-1)]^2)`
= `sqrt((1)^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 4)`
= `sqrt5` ........................(4)
(1), (2), (3) तथा (4) से,
AB = BC = CD = AD
∴ `square`ABCD एक समचतुर्भुज है |
दूरी सूत्र से,
AC = `sqrt((x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2)`
= `sqrt((7 - 4)^2 + [-2 - (-1)]^2)`
= `sqrt((3)^2 + (-1)^2) = sqrt(9 + 1)`
= `sqrt10` .................................(5)
BD = `sqrt((x_4 - x_2)^2 + (y_4 - y_2)^2)`
= `sqrt((5 - 6)^2 + (-3 - 0)^2)`
= `sqrt((-1)^2 + (-3)^2) = sqrt(1 + 9)`
= `sqrt10` .................................(6)
समचतुर्भुज ABCD में,
AC = BD .........................[(5) और (6) से]
यदि किसी समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर सर्वांगसम हो, तो वह चतुर्भुज एक वर्ग होता है |
∴ `square`ABCD वर्ग है |
∴ A(4, -1); B(6, 0); C(7, -2) और D(5, -3) वर्ग के शीर्षबिंदु है |
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
नीचे दिए गए बिंदु एकरेखीय हैं या नहीं? इसकी जाँच कीजिए।
A(1, −3), B(2, −5), C(−4, 7)
निम्नलिखित बिंदुओं को जोड़नेवाले रेखाखंड त्रिभुज बना सकते हैं क्या? यदि त्रिभुज बनता हो तो भुजाओं के आधार पर त्रिभुज का प्रकार लिखिए।
P(-2, -6), Q(-4, -2), R(-5, 0)
शीर्ष बिंदु A(7, 1), B(3, 5) और C(2, 0) वाले त्रिभुज के परिवृत्त के केंद्र (परिकेंद्र) का निर्देशांक और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, 'क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?' चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है?
तीन शीर्षों A(–2, 3), B(6, 7) और C(8, 3) वाले समांतर चतुर्भुज ABCD का चौथा शीर्ष D ______ हैं।
शीर्षों A(– 2, 0), B(2, 0) और C(0, 2) वाला त्रिभुज ABC शीर्षों D(–4, 0), E(4, 0) और F(0, 4) वाले त्रिभुज DEF के समरूप है।
बिंदु A(–1, –2), B(4, 3), C(2, 5) और D(–3, 0) इसी क्रम में एक आयत बनाते हैं।
बिंदुओं A(2, –2), B(7, 3), C(11, –1) और D(6, –6) को इसी क्रम में लेने पर किस प्रकार का चतुर्भुज बनता है?
एक बिंदु ज्ञात कीजिए, जो A(–5, 4) और B(–1, 6) से समदूरस्थ हो। ऐसे कितने बिंदु हैं?
यदि बिंदु A(2, – 4), बिंदुओं P(3, 8) और Q(–10, y) से समदूरस्थ है, तो y के मान ज्ञात कीजिए। दूरी PQ भी ज्ञात कीजिए।
