Question

Let L be the set of all lines in XY-plane and R be the relation in L defined as R = {L₁, L₂) : L₁ is parallel to L₂}. Show that R is an equivalence relation. Find the set of all lines related to the line y= 2x + 4.

Answer 1

We observe the following properties of R.

Reflexivity: Let L1 be an arbitrary element of the set L. Then,

L₁ ∈ L

⇒ L₁ is parallel to L₁              [Every line is parallel to itself]

⇒ (L₁, L₁) ∈ R  for all L₁ ∈ L

So, R is reflexive on L.

Symmetry : Let (L₁, L₂) ∈ R

⇒ L₁  is parallel to L₂

⇒ L₂  is parallel to L₁

⇒ (L_2, L₁) ∈ R  for all L₁ and L₂ ∈ L

So, R is symmetric on L.

Transitivity : Let (L₁, L₂) and (L₂, L₃) ∈ R

⇒ L₁  is parallel to L₂  and L₂  is parallel to L₃

⇒ L₁, L₂ and L₃ are all parallel to each other

⇒L₁ is parallel to L₃

⇒(L₁, L₃) ∈ R

So, R is transitive on L.

Hence, R is an equivalence relation on L.

Set of all the lines related to y = 2x+4
                                                 = L' = {(x, y) : y = 2x+c, where c∈ R}