Question

Integrate the function in e^2x sin x.

Answer 1

Let `I = inte^(2x) sinx dx`

`= e^(2x) int sin x dx - int [d/dx (e^(2x))* int sin x dx] dx`

`= e^(2x) (- cos x) - int 2e^(2x) (- cos x) dx + C_1`

`= -e^(2x) cos x + 2 int e^(2x) cos x dx + C_1`

`= -e^(2x) cos x + 2`       `...[e^(2x) int cos x dx - int (d/dx (e^(2x))* int cos xdx)  dx] + C_1`

`= -e^(2x) cos x + 2e^(2x) sin x - 4 int e^(2x) sin x dx + C_1 + C_2`

`= e^(2x) (2 sin x - cos x) - 4I + C_1 + C_2`

∵ `5I = e^(2x) (2 sinx - cos x) + C_1 + C_2`

⇒ `I = (e^(2x))/5 (2 sin x - cos x) + C`

where C = C₁ + C₂