Question

एक व्यक्ति दौड़पथ पर दौड़ते हुऐ अंकित करता है कि उससे दो झंडा चौकियों की दूरियों का योग सदैव 10 मीटर रहता है। और झंडा चौकियों के बीच की दूरी 8 मीटर है। व्यक्ति द्वारा बनाए पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मान लीजिए कि F₁ और F₂ दो बिंदु हैं जहाँ झंडा चौकियां जमीन पर लगे हुए हैं।

मूल बिंदु O, F₁F₂ का मध्य-बिंदु है।

∴ OF₁ - OF₂ = `1/2 F_1F_2 = 1/2 xx 8 = 4"मीटर" `

F₁ के निर्देशांक (-4, 0) हैं और F₂ के निर्देशांक (4, 0) हैं

मान लीजिए P (α, β) पथ पर कोई बिंदु है।

∴ PF₁ + PF₂ = 10

∴ `sqrt((α + 4)^2 + (β - 0)^2)` + `sqrt((α - 4)^2 + (β - 0)^2) = 10`

= `sqrt(α^2 + 16 + 8α + β^2)` =  `10 - sqrt(α^2 + 16 - 8α + β^2)`

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

α² + β² + 8α + 16 = 100 + α² + β² - Bα + 16 `-20 sqrt(α^2 + β^2 - 8α + 16)`

= 16α - 100 = `-20 sqrt(α^2 + β^2 - 8α + 16)`

पुनः, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

= (16α - 100)² = (`-20 sqrt((α^2 + β^2 - 8α + 16)^2)`

= 256α² + 10000 - 3200α = 400(α² + β² - 8α+ 16)

= 256α² + 10000 - 3200α = 400α² + 400β² - 32008α+ 6400)

= 144α² + 400β² = 3600

= `(144α^2)/(3600) + (400β^2)/(3600) = 1`

इस प्रकार, बिंदु P के बिंदुपथ का आवश्यक समीकरण `x^2/25 + y^2/9 = 1` है।