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प्रश्न
एक व्यक्ति दौड़पथ पर दौड़ते हुऐ अंकित करता है कि उससे दो झंडा चौकियों की दूरियों का योग सदैव 10 मीटर रहता है। और झंडा चौकियों के बीच की दूरी 8 मीटर है। व्यक्ति द्वारा बनाए पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
मान लीजिए कि F1 और F2 दो बिंदु हैं जहाँ झंडा चौकियां जमीन पर लगे हुए हैं।
मूल बिंदु O, F1F2 का मध्य-बिंदु है।
∴ OF1 - OF2 = `1/2 F_1F_2 = 1/2 xx 8 = 4"मीटर" `
F1 के निर्देशांक (-4, 0) हैं और F2 के निर्देशांक (4, 0) हैं
मान लीजिए P (α, β) पथ पर कोई बिंदु है।
∴ PF1 + PF2 = 10
∴ `sqrt((α + 4)^2 + (β - 0)^2)` + `sqrt((α - 4)^2 + (β - 0)^2) = 10`
= `sqrt(α^2 + 16 + 8α + β^2)` = `10 - sqrt(α^2 + 16 - 8α + β^2)`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है
α2 + β2 + 8α + 16 = 100 + α2 + β2 - Bα + 16 `-20 sqrt(α^2 + β^2 - 8α + 16)`
= 16α - 100 = `-20 sqrt(α^2 + β^2 - 8α + 16)`
पुनः, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है
= (16α - 100)2 = (`-20 sqrt((α^2 + β^2 - 8α + 16)^2)`
= 256α2 + 10000 - 3200α = 400(α2 + β2 - 8α+ 16)
= 256α2 + 10000 - 3200α = 400α2 + 400β2 - 32008α+ 6400)
= 144α2 + 400β2 = 3600
= `(144α^2)/(3600) + (400β^2)/(3600) = 1`
इस प्रकार, बिंदु P के बिंदुपथ का आवश्यक समीकरण `x^2/25 + y^2/9 = 1` है।
