Question

एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम लिए गए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्‍नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ:

अक्षरों की संख्या	उपनामों की संख्या
1 - 4	6
4 − 7	30
7 - 10	40
10 - 13	6
13 - 16	4
16 − 19	4

कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

Answer 1

उनके संबंधित वर्ग अंतरालों के साथ संचयी बारंबारताएं इस प्रकार हैं।

यह देखा जा सकता है कि दो क्रमागत उच्च वर्ग सीमाओं के बीच का अंतर 2 है। उनकी संबंधित आवृत्तियों के साथ वर्ग अंक नीचे दिए गए हैं

अक्षरों की संख्या	आवृत्ति	संचयी आवृत्ति
1 − 4	0	6
4 − 7	30	30 + 6 = 36
7 − 10	40	36 + 40 = 76
10 − 13	16	76 + 16 = 92
13 − 16	4	92 + 4 = 96
16 − 19	4	96 + 4 = 100
Total (n)	100

यह देखा जा सकता है कि` n/2 ("अर्थात" 100/2 = 50)` से अधिक की संचयी आवृत्ति 76 है, जो वर्ग अंतराल 7 - 10 से संबंधित है।

माध्यिका वर्ग = 7 - 10

माध्यिका वर्ग की निचली सीमा (l) = 7

माध्यिका वर्ग के पूर्ववर्ती वर्ग की संचयी बारंबारता (cf) = 36

माध्यिका वर्ग की बारंबारता (f) = 40

वर्ग आकार (h) = 3

`"माध्यिका" = l +((n/2-cf)/f) xxh`

= `7+((50-36)/40)xx3`

= `7+(14xx3)/40`

= 8.05

दिए गए वर्ग अंतरालों के वर्ग चिह्न ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है।

`"वर्ग चिह्न" = ("उच्च वर्ग सीमा + निम्न वर्ग सीमा")/2`

कल्पित माध्य (a), d_i, u_i, और f_iu_i के रूप में 11.5 लेते हुए, चरण विचलन विधि के अनुसार निम्नानुसार गणना की जाती है

अक्षरों की संख्या	उपनामों की संख्या fi	xi	di = xi − 11.5	`ui =d_i/3`	fiui
1 − 4	6	2.5	− 9	− 3	−18
4 − 7	30	5.5	− 6	− 2	− 60
7 − 10	40	8.5	− 3	− 1	− 40
10 − 13	16	11.5	0	0	0
13 − 16	4	14.5	3	1	4
16 − 19	4	17.5	6	2	8
Total	100				−106

तालिका से, हम प्राप्त करते हैं

`sumf_i = -106`

`sumf_iu_i = 100`

माध्य `barx = a+ ((sumf_iu_i)/(sumf_i))xx h`

= `11.5+((-106)/100)xx3`

= 11.5 − 3.18

= 8.32

दी गई तालिका में डेटा को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

अक्षरों की संख्या	आवृत्ति (fi)
1 − 4	6
4 − 7	30
7 − 10	40
10 − 13	16
13 − 16	4
16 − 19	4
Total (n)	100

तालिका से, यह देखा जा सकता है कि वर्ग अंतराल 7-10 से संबंधित अधिकतम वर्ग बारंबारता 40 है।

बहुलक वर्ग = 7 − 10

बहुलक वर्ग की निचली सीमा (l) = 7

वर्ग आकार (h) = 3

बहुलक वर्ग की बारंबारता (f₁) = 40

बहुलक वर्ग से पहले के वर्ग की बारंबारता (f₀) = 30

बहुलक वर्ग के बाद आने वाले वर्ग की बारंबारता (f₂) = 16

`"बहुलक " = L+((f_1-f_0)/(2f_1-f_0-f_2))xxh`

= `7+[(40-30)/(2(40)-30-16)]xx3`

= `7 + 10/34 xx 3`

= `7+30/34`

= 7.88

इसलिए, उपनामों में माध्यिका संख्या और औसत अक्षरों की संख्या क्रमशः 8.05 और 8.32 है जबकि उपनामों का मोडल आकार 7.88 है।