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Question
एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम लिए गए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ:
| अक्षरों की संख्या | उपनामों की संख्या |
| 1 - 4 | 6 |
| 4 − 7 | 30 |
| 7 - 10 | 40 |
| 10 - 13 | 6 |
| 13 - 16 | 4 |
| 16 − 19 | 4 |
कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
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Solution
उनके संबंधित वर्ग अंतरालों के साथ संचयी बारंबारताएं इस प्रकार हैं।
यह देखा जा सकता है कि दो क्रमागत उच्च वर्ग सीमाओं के बीच का अंतर 2 है। उनकी संबंधित आवृत्तियों के साथ वर्ग अंक नीचे दिए गए हैं
| अक्षरों की संख्या | आवृत्ति | संचयी आवृत्ति |
| 1 − 4 | 0 | 6 |
| 4 − 7 | 30 | 30 + 6 = 36 |
| 7 − 10 | 40 | 36 + 40 = 76 |
| 10 − 13 | 16 | 76 + 16 = 92 |
| 13 − 16 | 4 | 92 + 4 = 96 |
| 16 − 19 | 4 | 96 + 4 = 100 |
| Total (n) | 100 |
यह देखा जा सकता है कि` n/2 ("अर्थात" 100/2 = 50)` से अधिक की संचयी आवृत्ति 76 है, जो वर्ग अंतराल 7 - 10 से संबंधित है।
माध्यिका वर्ग = 7 - 10
माध्यिका वर्ग की निचली सीमा (l) = 7
माध्यिका वर्ग के पूर्ववर्ती वर्ग की संचयी बारंबारता (cf) = 36
माध्यिका वर्ग की बारंबारता (f) = 40
वर्ग आकार (h) = 3
`"माध्यिका" = l +((n/2-cf)/f) xxh`
= `7+((50-36)/40)xx3`
= `7+(14xx3)/40`
= 8.05
दिए गए वर्ग अंतरालों के वर्ग चिह्न ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित संबंध का उपयोग किया जाता है।
`"वर्ग चिह्न" = ("उच्च वर्ग सीमा + निम्न वर्ग सीमा")/2`
कल्पित माध्य (a), di, ui, और fiui के रूप में 11.5 लेते हुए, चरण विचलन विधि के अनुसार निम्नानुसार गणना की जाती है
|
अक्षरों की संख्या |
उपनामों की संख्या fi |
xi |
di = xi − 11.5 |
`ui =d_i/3` |
fiui |
|
1 − 4 |
6 |
2.5 |
− 9 |
− 3 |
−18 |
|
4 − 7 |
30 |
5.5 |
− 6 |
− 2 |
− 60 |
|
7 − 10 |
40 |
8.5 |
− 3 |
− 1 |
− 40 |
|
10 − 13 |
16 |
11.5 |
0 |
0 |
0 |
|
13 − 16 |
4 |
14.5 |
3 |
1 |
4 |
|
16 − 19 |
4 |
17.5 |
6 |
2 |
8 |
|
Total |
100 |
−106 |
तालिका से, हम प्राप्त करते हैं
`sumf_i = -106`
`sumf_iu_i = 100`
माध्य `barx = a+ ((sumf_iu_i)/(sumf_i))xx h`
= `11.5+((-106)/100)xx3`
= 11.5 − 3.18
= 8.32
दी गई तालिका में डेटा को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
| अक्षरों की संख्या | आवृत्ति (fi) |
| 1 − 4 | 6 |
| 4 − 7 | 30 |
| 7 − 10 | 40 |
| 10 − 13 | 16 |
| 13 − 16 | 4 |
| 16 − 19 | 4 |
| Total (n) | 100 |
तालिका से, यह देखा जा सकता है कि वर्ग अंतराल 7-10 से संबंधित अधिकतम वर्ग बारंबारता 40 है।
बहुलक वर्ग = 7 − 10
बहुलक वर्ग की निचली सीमा (l) = 7
वर्ग आकार (h) = 3
बहुलक वर्ग की बारंबारता (f1) = 40
बहुलक वर्ग से पहले के वर्ग की बारंबारता (f0) = 30
बहुलक वर्ग के बाद आने वाले वर्ग की बारंबारता (f2) = 16
`"बहुलक " = L+((f_1-f_0)/(2f_1-f_0-f_2))xxh`
= `7+[(40-30)/(2(40)-30-16)]xx3`
= `7 + 10/34 xx 3`
= `7+30/34`
= 7.88
इसलिए, उपनामों में माध्यिका संख्या और औसत अक्षरों की संख्या क्रमशः 8.05 और 8.32 है जबकि उपनामों का मोडल आकार 7.88 है।
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निम्नलिखित वितरण एक इलाके के बच्चों के दैनिक जेब भत्ते को दर्शाता है। औसत जेब भत्ता 18 रुपये है। लापता आवृत्ति का पता लगाएं f ज्ञात कीजिए:
|
दैनिक जेब भत्ता (रुपये में) |
11-13 | 13-15 | 15-17 | 17-19 | 19-21 | 21-23 | 23-25 |
| श्रमिकों की संख्या | 7 | 6 | 9 | 13 | f | 5 | 4 |
हवा में SO2 की सांद्रता का पता लगाने के लिए (प्रति मिलियन भागों में, यानी, ppm), एक निश्चित शहर में 30 इलाकों के लिए डेटा एकत्र किया गया था और नीचे प्रस्तुत किया गया है:
| SO2 की सांद्रता (ppm में) | आवृत्ति |
| 0.00 − 0.04 | 4 |
| 0.04 − 0.08 | 9 |
| 0.08 − 0.12 | 9 |
| 0.12 − 0.16 | 2 |
| 0.16 − 0.20 | 4 |
| 0.20 − 0.24 | 2 |
हवा में SO2 की औसत सांद्रता ज्ञात कीजिए।
एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ निकटतम मिलीमिटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रुप में निरुपित किया जाता है:
| लंबाई (mm में) | पत्तियों की संख्या |
| 118 − 126 | 3 |
| 127 − 135 | 5 |
| 136 − 144 | 9 |
| 145 − 153 | 12 |
| 154 − 162 | 5 |
| 163 − 171 | 4 |
| 172 − 180 | 2 |
पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए।
संकेत: माध्यक ज्ञात करने के लिए, आँकड़ो को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना पड़ेगा, क्योकिं सूत्र में वर्ग 117.5 - 126.5 , 126.5 - 135.5 ,…,171.5 - 180.5 अंतरालों को सतत माना गया है। तब ये वर्ग में बदल जाते है।
अवर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक और इन्हीं आँकड़ों को वर्गीकृत करने के बाद परिकलित माध्यक सदैव बराबर होते हैं। क्या आप सोचते हैं कि यह कथन सत्य है? कारण दीजिए।
600 परिवारों की साप्ताहिक आय नीचे सारणीबद्ध है:
| साप्ताहिक आय (रू में) |
परिवारों की संख्या |
| 0 – 1000 | 250 |
| 1000 – 2000 | 190 |
| 2000 – 3000 | 100 |
| 3000 – 4000 | 40 |
| 4000 – 5000 | 15 |
| 5000 – 6000 | 5 |
| कुल | 600 |
माध्यम आय अभिकलित कीजिए।
70 पैकेटों में चाय के भार नीचे दी सारणी में दर्शाए गये हैं:
| भार (ग्राम में) | पैकेटों की संख्या |
| 200 – 201 | 13 |
| 201 – 202 | 27 |
| 202 – 203 | 18 |
| 203 – 204 | 10 |
| 204 – 205 | 1 |
| 205 – 206 | 1 |
इन आँकड़ों के लिए, 'से कम प्रकार' का तोरण खींचिए तथा इसका प्रयोग माध्यक भार ज्ञात करने में कीजए।
96 बच्चों की लंबाइयों (ऊँचाइयों) (cm में) का बंटन नीचे दिया गया है:
|
लंबाई (cm में) |
बच्चों की संख्या |
| 124 – 128 | 5 |
| 128 – 132 | 8 |
| 132 – 136 | 17 |
| 136 – 140 | 24 |
| 140 – 144 | 16 |
| 144 – 148 | 12 |
| 148 – 152 | 6 |
| 152 – 156 | 4 |
| 156 – 160 | 3 |
| 160 – 164 | 1 |
इन आँकड़ों के लिए, 'से कम प्रकार' की संचयी बारंबारता वक्र खींचिए और इसका बच्चों की माध्यक लंबाई ज्ञात करने में प्रयोग कीजिए।
किसी शहर में एक वर्ष के 66 दिन की वर्षा का रिकार्ड नीचे सारणी में दिया गया है:
|
वर्षा (cm में) |
0 – 10 |
10 – 20 |
20 – 30 |
30 – 40 |
40 – 50 |
50 – 60 |
|
दिनों की संख्या |
22 |
10 |
8 |
15 |
5 |
6 |
'से कम प्रकार' और 'से अधिक प्रकार के' तोरणों का प्रयोग करके माध्यक वर्षा परिकलित कीजिए।
एक स्कूल के 50 विद्यार्थियों ने भाला फेंक प्रतियोगिता में भाग लिया। फेंकी गयी दूरियाँ (मीटर में) नीचे दी गई हैं:
|
दूरी (m में) |
0 – 20 |
20 – 40 |
40 – 60 |
60 – 80 |
80 – 100 |
|
विद्यार्थियों की संख्या |
6 |
11 |
17 |
12 |
4 |
'से कम प्रकार की' एक संचयी बारंबारता वक्र खींचिए और इससे फेंकी गयी माध्यक दूरी ज्ञात कीजिए।
एक स्कूल के 50 विद्यार्थियों ने भाला फेंक प्रतियोगिता में भाग लिया। फेंकी गयी दूरियाँ (मीटर में) नीचे दी गई हैं:
|
दूरी (m में) |
0 – 20 |
20 – 40 |
40 – 60 |
60 – 80 |
80 – 100 |
|
विद्यार्थियों की संख्या |
6 |
11 |
17 |
12 |
4 |
क्या ऊपर (ii) और (iii) में प्राप्त किये गये माध्यक बराबर हैं?
