Advertisements
Advertisements
Question
आकृतीमध्ये, O हा वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे. रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे. जर OP = 3 आणि m(कंस PM) = 120° असेल, तर AP ची लांबी काढा?
Advertisements
Solution
पक्ष: रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे.
OP = ३, m(कंस PM) = 120°
काढा : AP
उकल:
आकृतीमध्ये, कंस PMQ अर्धवर्तुळ आहे.
∴ m(कंस PMQ) = 180° ......[अर्धवर्तुळकंसाचे माप 180° असते.]
∴ m(कंस PM) + m(कंस MQ) = 180° ............[कंसांच्या मापांच्या बेरजेचा गुणधर्म]
∴ 120° + m(कंस MQ) = 180° …[पक्ष]
∴ m(कंस MQ) = 180° – 120°
∴ m(कंस MQ) = 60° .....(i)
∴ ∠MPQ = `1/2 xx` m(कंस MQ) .........…[अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]
∴ ∠MPQ = `1/2 xx 60^circ` .......[(i) वरून]
∴ ∠MPQ = 30°
म्हणजेच ∠APQ = 30° .....(ii) [A – M –P]
ΔPAQ मध्ये, ∠PAQ = 90° ...........[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
∠APQ = 30° .....[(ii) वरून]
∴ ∠PAQ = 60° .........[ΔPQA चा उर्वरित कोन]
∴ ΔPAQ हा 30° – 60° – 90° त्रिकोण आहे.
∴ PQ = `sqrt3/2 "AP"` ...[60° कोनासमोरील बाजू]
∴ (PO + OQ) = `sqrt3/2 "AP"` ....[P – O – Q]
∴ (3 + 3) = ``sqrt3/2 "AP" ..........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या , OP = 3]
∴ AP = `(6 xx 2)/sqrt3`
∴ AP = `(6 xx 2 xx sqrt3)/(sqrt3 xx sqrt3)` ..........[`sqrt3` ने गुणून व भागून]
∴ AP = `(6 xx 2 xx sqrt3)/3`
∴ AP = `2 xx 2sqrt3`
∴ AP = `4sqrt3` एकक
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
आकृती मध्ये, केंद्र A व B असणारी वर्तुळे परस्परांना बिंदू E मध्ये स्पर्श करतात. रेषा l ही त्यांची सामाईक स्पर्शिका त्यांना अनुक्रमे C व D मध्ये स्पर्श करते. जर वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 4 सेमी व 6 सेमी असतील, तर रेख CD ची लांबी किती असेल?
एका वर्तुळाच्या केंद्रापासून 12.5 सेमी अंतरावरील एका बिंदूतून त्या वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी 12 सेमी आहे. तर त्या वर्तुळाचा व्यास किती सेमी आहे?
सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळकेंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3` तर
(1) वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
(2) ∠K आणि ∠M यांची मापे ठरवा.
आकृती मध्ये, बिंदू O वर्तुळकेंद्र आणि रेख AB व रेख AC हे स्पर्शिकाखंड आहेत. जर वर्तुळाची त्रिज्या r असेल आणि l(AB) = r असेल, तर `square`ABOC हा चौरस होतो, हे दाखवा.
आकृती मध्ये, केंद्र N असलेले वर्तुळ केंद्र M असणाऱ्या वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या लहान वर्तुळाला बिंदू S मध्ये स्पर्श करते. जर मोठ्या व लहान वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 9 सेमी व 2.5 सेमी असतील तर खालील प्रश्नांची उत्तरे शोधा आणि त्यांवरून MS : SR हे गुणोत्तर काढा.
(1) MT = किती?
(2) MN = किती?
(3) ∠NSM = किती?
शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
आकृती मध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाचा रेख AB हा व्यास आहे. वर्तुळाची स्पर्शिका PQ वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. रेख AP ⊥ रेषा PQ आणि रेख BQ ⊥ रेषा PQ. तर सिद्ध करा - रेख CP ≅ रेख CQ.
दिलेल्या आकृतीत, केंद्र D असलेले वर्तुळ ∠ACB च्या बाजूंना बिंदू A आणि B मध्ये स्पर्श करते. जर ∠ACB = 52°, तर ∠ADB चे माप काढा.
आकृतीत रेख RM आणि रेख RN हे केंद्र O असलेल्या वर्तुळाचे स्पर्शिका खंड आहेत, तर रेख OR हा ∠MRN आणि ∠MON या दोन्ही कोनांचा दुभाजक आहे, हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
सिद्धता:
ΔRMO आणि ΔRNO यांमध्ये,
∠RMO ≅ ∠RNO = 90° ...............[`square`]
कर्ण OR ≅ कर्ण OR …..............[`square`]
बाजू OM ≅ बाजू [`square`] ..........…[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
∴ ΔRMO ≅ ΔRNO ….......[`square`]
∠MOR ≅ ∠NOR
तसेच, ∠MRO ≅ [`square`] ......................[`square`]
∴ रेख OR ∠MRN आणि ∠MON या दोन्ही कोनांची दुभाजक आहे.
दिलेल्या आकृतीत, Q केंद्र असलेल्या वर्तुळाच्या रेख PM आणि PN स्पर्शिका आहेत. जर ∠MPN = 40°, तर ∠MQN चे माप काढा.
