Advertisements
Advertisements
Question
आकृतीमध्ये, O हा वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे. रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे. जर OP = 3 आणि m(कंस PM) = 120° असेल, तर AP ची लांबी काढा?
Advertisements
Solution
पक्ष: रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे.
OP = ३, m(कंस PM) = 120°
काढा : AP
उकल:
आकृतीमध्ये, कंस PMQ अर्धवर्तुळ आहे.
∴ m(कंस PMQ) = 180° ......[अर्धवर्तुळकंसाचे माप 180° असते.]
∴ m(कंस PM) + m(कंस MQ) = 180° ............[कंसांच्या मापांच्या बेरजेचा गुणधर्म]
∴ 120° + m(कंस MQ) = 180° …[पक्ष]
∴ m(कंस MQ) = 180° – 120°
∴ m(कंस MQ) = 60° .....(i)
∴ ∠MPQ = `1/2 xx` m(कंस MQ) .........…[अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]
∴ ∠MPQ = `1/2 xx 60^circ` .......[(i) वरून]
∴ ∠MPQ = 30°
म्हणजेच ∠APQ = 30° .....(ii) [A – M –P]
ΔPAQ मध्ये, ∠PAQ = 90° ...........[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
∠APQ = 30° .....[(ii) वरून]
∴ ∠PAQ = 60° .........[ΔPQA चा उर्वरित कोन]
∴ ΔPAQ हा 30° – 60° – 90° त्रिकोण आहे.
∴ PQ = `sqrt3/2 "AP"` ...[60° कोनासमोरील बाजू]
∴ (PO + OQ) = `sqrt3/2 "AP"` ....[P – O – Q]
∴ (3 + 3) = ``sqrt3/2 "AP" ..........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या , OP = 3]
∴ AP = `(6 xx 2)/sqrt3`
∴ AP = `(6 xx 2 xx sqrt3)/(sqrt3 xx sqrt3)` ..........[`sqrt3` ने गुणून व भागून]
∴ AP = `(6 xx 2 xx sqrt3)/3`
∴ AP = `2 xx 2sqrt3`
∴ AP = `4sqrt3` एकक
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
आकृती मध्ये, केंद्र P आणि Q असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू R मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू R मधून जाणारी रेषा त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर -
(1) रेख AP || रेख BQ हे सिद्ध करा.
(2) ΔAPR ~ ΔRQB हे सिद्ध करा.
(3) जर ∠PAR चे माप 35° असेल, तर ∠RQB चे माप ठरवा.
आकृती मध्ये, रेख EF हा व्यास आणि रेख DF हा स्पर्शिकाखंड आहे. वर्तुळाची त्रिज्या r आहे. तर सिद्ध करा - DE × GE = 4r2
सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळकेंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3` तर
(1) वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
(2) ∠K आणि ∠M यांची मापे ठरवा.
आकृती मध्ये, बिंदू O वर्तुळकेंद्र आणि रेख AB व रेख AC हे स्पर्शिकाखंड आहेत. जर वर्तुळाची त्रिज्या r असेल आणि l(AB) = r असेल, तर `square`ABOC हा चौरस होतो, हे दाखवा.
आकृती मध्ये, केंद्र N असलेले वर्तुळ केंद्र M असणाऱ्या वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या लहान वर्तुळाला बिंदू S मध्ये स्पर्श करते. जर मोठ्या व लहान वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 9 सेमी व 2.5 सेमी असतील तर खालील प्रश्नांची उत्तरे शोधा आणि त्यांवरून MS : SR हे गुणोत्तर काढा.
(1) MT = किती?
(2) MN = किती?
(3) ∠NSM = किती?
शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
सोबतच्या आकृतीमध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळात रेषा AB या वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते, तर ∠CAB चे माप किती अंश आहे? का?
दिलेल्या आकृतीत, केंद्र D असलेले वर्तुळ ∠ACB च्या बाजूंना बिंदू A आणि B मध्ये स्पर्श करते. जर ∠ACB = 52°, तर ∠ADB चे माप काढा.
वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात हे प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी आकृतीच्या आधारे खालील कृती पूर्ण करा.
पक्ष: `square`
साध्य: `square`
सिद्धता:
त्रिज्या AP आणि AQ काढून प्रमेयाची खाली दिलेली सिद्धता रिकाम्या जागा भरून पूर्ण करा.
ΔPAD आणि ΔQAD यांमध्ये,
बाजू PA ≅ बाजू `square` ...........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
बाजू AD ≅ बाजू AD ...............[`square`]
∠APD ≅ ∠AQD = 90° ............[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
∴ ΔPAD ≅ ΔQAD ..................[`square`]
∴ बाजू DP ≅ बाजू DQ ...............[`square`]
'O' केंद्र असलेल्या वर्तुळाला P या बाह्यबिंदूतून AP ही A बिंदूपाशी स्पर्शिका काढली आहे. जर OP = 12 सेमी व ∠OPA = 30°, तर वर्तुळाची त्रिज्या ______ असेल.
