Advertisements
Advertisements
प्रश्न
आकृतीमध्ये, O हा वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे. रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे. जर OP = 3 आणि m(कंस PM) = 120° असेल, तर AP ची लांबी काढा?
Advertisements
उत्तर
पक्ष: रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे.
OP = ३, m(कंस PM) = 120°
काढा : AP
उकल:
आकृतीमध्ये, कंस PMQ अर्धवर्तुळ आहे.
∴ m(कंस PMQ) = 180° ......[अर्धवर्तुळकंसाचे माप 180° असते.]
∴ m(कंस PM) + m(कंस MQ) = 180° ............[कंसांच्या मापांच्या बेरजेचा गुणधर्म]
∴ 120° + m(कंस MQ) = 180° …[पक्ष]
∴ m(कंस MQ) = 180° – 120°
∴ m(कंस MQ) = 60° .....(i)
∴ ∠MPQ = `1/2 xx` m(कंस MQ) .........…[अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]
∴ ∠MPQ = `1/2 xx 60^circ` .......[(i) वरून]
∴ ∠MPQ = 30°
म्हणजेच ∠APQ = 30° .....(ii) [A – M –P]
ΔPAQ मध्ये, ∠PAQ = 90° ...........[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
∠APQ = 30° .....[(ii) वरून]
∴ ∠PAQ = 60° .........[ΔPQA चा उर्वरित कोन]
∴ ΔPAQ हा 30° – 60° – 90° त्रिकोण आहे.
∴ PQ = `sqrt3/2 "AP"` ...[60° कोनासमोरील बाजू]
∴ (PO + OQ) = `sqrt3/2 "AP"` ....[P – O – Q]
∴ (3 + 3) = ``sqrt3/2 "AP" ..........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या , OP = 3]
∴ AP = `(6 xx 2)/sqrt3`
∴ AP = `(6 xx 2 xx sqrt3)/(sqrt3 xx sqrt3)` ..........[`sqrt3` ने गुणून व भागून]
∴ AP = `(6 xx 2 xx sqrt3)/3`
∴ AP = `2 xx 2sqrt3`
∴ AP = `4sqrt3` एकक
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
त्रिज्या 4.5 सेमी असलेल्या वर्तुळाच्या दोन स्पर्शिका परस्परांना समांतर आहेत. तर त्या स्पर्शिकांतील अंतर किती हे सकारण लिहा.
आकृती मध्ये, रेख EF हा व्यास आणि रेख DF हा स्पर्शिकाखंड आहे. वर्तुळाची त्रिज्या r आहे. तर सिद्ध करा - DE × GE = 4r2
बिंदू O केंद्र असलेल्या वर्तुळाला रेषा l बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. जर वर्तुळाची त्रिज्या 9 सेमी असेल, तर खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा.
(1) d(O, P) = किती? का?
(2) जर d(O, Q) = 8 सेमी असेल. तर बिंदू Q चे स्थान कोठे असेल?
(3) d(O, R)=15 सेमी असेल तर बिंदू R ची किती स्थाने रेषा l वर असतील? ते बिंदू P किती अंतरावर असतील?
सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळकेंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3` तर
(1) वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
(2) ∠K आणि ∠M यांची मापे ठरवा.
आकृती मध्ये, बिंदू O वर्तुळकेंद्र आणि रेख AB व रेख AC हे स्पर्शिकाखंड आहेत. जर वर्तुळाची त्रिज्या r असेल आणि l(AB) = r असेल, तर `square`ABOC हा चौरस होतो, हे दाखवा.
शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात हे प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी आकृतीच्या आधारे खालील कृती पूर्ण करा.
पक्ष: `square`
साध्य: `square`
सिद्धता:
त्रिज्या AP आणि AQ काढून प्रमेयाची खाली दिलेली सिद्धता रिकाम्या जागा भरून पूर्ण करा.
ΔPAD आणि ΔQAD यांमध्ये,
बाजू PA ≅ बाजू `square` ...........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
बाजू AD ≅ बाजू AD ...............[`square`]
∠APD ≅ ∠AQD = 90° ............[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
∴ ΔPAD ≅ ΔQAD ..................[`square`]
∴ बाजू DP ≅ बाजू DQ ...............[`square`]
खालील प्रमेय सिद्ध करा:
वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात.
'O' केंद्र असलेल्या वर्तुळाला P या बाह्यबिंदूतून AP ही A बिंदूपाशी स्पर्शिका काढली आहे. जर OP = 12 सेमी व ∠OPA = 30°, तर वर्तुळाची त्रिज्या ______ असेल.
