Question

आकृतीमध्ये, O हा वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे. रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे. जर OP = 3 आणि m(कंस PM) = 120° असेल, तर AP ची लांबी काढा? 

 

Answer 1

पक्ष: रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे.

OP = ३, m(कंस PM) = 120° 

काढा : AP

उकल:

आकृतीमध्ये, कंस PMQ अर्धवर्तुळ आहे.

∴ m(कंस PMQ) = 180° ......[अर्धवर्तुळकंसाचे माप 180° असते.]

∴ m(कंस PM) + m(कंस MQ) = 180° ............[कंसांच्या मापांच्या बेरजेचा गुणधर्म]

∴ 120° + m(कंस MQ) = 180° …[पक्ष]

∴ m(कंस MQ) = 180° – 120°

∴ m(कंस MQ) = 60° .....(i)

∴ ∠MPQ = `1/2 xx` m(कंस MQ) .........…[अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]

∴ ∠MPQ = `1/2 xx 60^circ`  .......[(i) वरून]

∴ ∠MPQ = 30°

म्हणजेच ∠APQ = 30° .....(ii) [A – M –P]

ΔPAQ मध्ये, ∠PAQ = 90° ...........[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]

∠APQ = 30° .....[(ii) वरून]

∴ ∠PAQ = 60° .........[ΔPQA चा उर्वरित कोन]

∴ ΔPAQ हा 30° – 60° – 90° त्रिकोण आहे.

∴ PQ = `sqrt3/2 "AP"` ...[60° कोनासमोरील बाजू]

∴ (PO + OQ) = `sqrt3/2 "AP"` ....[P – O – Q]

∴ (3 + 3) = ``sqrt3/2 "AP" ..........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या , OP = 3]

∴ AP = `(6 xx 2)/sqrt3`

∴ AP = `(6 xx 2 xx sqrt3)/(sqrt3 xx sqrt3)` ..........[`sqrt3` ने गुणून व भागून]

∴ AP = `(6 xx 2 xx sqrt3)/3`

∴ AP = `2 xx 2sqrt3`

∴ AP = `4sqrt3` एकक