Advertisements
Advertisements
प्रश्न
बिंदू O केंद्र असलेल्या वर्तुळाला रेषा l बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. जर वर्तुळाची त्रिज्या 9 सेमी असेल, तर खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा.
(1) d(O, P) = किती? का?
(2) जर d(O, Q) = 8 सेमी असेल. तर बिंदू Q चे स्थान कोठे असेल?
(3) d(O, R)=15 सेमी असेल तर बिंदू R ची किती स्थाने रेषा l वर असतील? ते बिंदू P किती अंतरावर असतील?
Advertisements
उत्तर
(1) रेख OP ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे.
∴ d(O, P) = 9 सेमी
(2) येथे, 8 सेमी < 9 सेमी
∴ d(O, Q) < d(O, P)
∴ d(O, Q) < त्रिज्या
∴ बिंदू Q हा वर्तुळाच्या अंतर्भागात आहे.
(3) रेषा l वर बिंदू R ची दोन स्थाने असू शकतात.
d(O, R) = 15 सेमी
आता, ΔOPR मध्ये, ∠OPR = 90° .....[स्पर्शिका -त्रिज्या प्रमेय]
∴ OR2 = OP2 + PR2 ....[पायथागोरसचे प्रमेय]
∴ 152 = 92 + PR2
∴ 225 = 81 + PR2
∴ PR2 = 225 - 81 = 144
∴ PR = `sqrt144` .....[दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन]
= 12 सेमी
∴ बिंदू R चे प्रत्येक स्थान बिंदू P पासून 12 सेमी अंतरावर असेल.
संबंधित प्रश्न
त्रिज्या 4.5 सेमी असलेल्या वर्तुळाच्या दोन स्पर्शिका परस्परांना समांतर आहेत. तर त्या स्पर्शिकांतील अंतर किती हे सकारण लिहा.
आकृती मध्ये, केंद्र A व B असणारी वर्तुळे परस्परांना बिंदू E मध्ये स्पर्श करतात. रेषा l ही त्यांची सामाईक स्पर्शिका त्यांना अनुक्रमे C व D मध्ये स्पर्श करते. जर वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 4 सेमी व 6 सेमी असतील, तर रेख CD ची लांबी किती असेल?
आकृती मध्ये, रेख EF हा व्यास आणि रेख DF हा स्पर्शिकाखंड आहे. वर्तुळाची त्रिज्या r आहे. तर सिद्ध करा - DE × GE = 4r2
सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळकेंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3` तर
(1) वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
(2) ∠K आणि ∠M यांची मापे ठरवा.
आकृती मध्ये, बिंदू O वर्तुळकेंद्र आणि रेख AB व रेख AC हे स्पर्शिकाखंड आहेत. जर वर्तुळाची त्रिज्या r असेल आणि l(AB) = r असेल, तर `square`ABOC हा चौरस होतो, हे दाखवा.
शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
आकृती मध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाचा रेख AB हा व्यास आहे. वर्तुळाची स्पर्शिका PQ वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. रेख AP ⊥ रेषा PQ आणि रेख BQ ⊥ रेषा PQ. तर सिद्ध करा - रेख CP ≅ रेख CQ.
सोबतच्या आकृतीमध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळात रेषा AB या वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते, तर ∠CAB चे माप किती अंश आहे? का?
वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात हे प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी आकृतीच्या आधारे खालील कृती पूर्ण करा.
पक्ष: `square`
साध्य: `square`
सिद्धता:
त्रिज्या AP आणि AQ काढून प्रमेयाची खाली दिलेली सिद्धता रिकाम्या जागा भरून पूर्ण करा.
ΔPAD आणि ΔQAD यांमध्ये,
बाजू PA ≅ बाजू `square` ...........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
बाजू AD ≅ बाजू AD ...............[`square`]
∠APD ≅ ∠AQD = 90° ............[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
∴ ΔPAD ≅ ΔQAD ..................[`square`]
∴ बाजू DP ≅ बाजू DQ ...............[`square`]
आकृतीमध्ये, O हा वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे. रेषा AQ ही स्पर्शिका आहे. जर OP = 3 आणि m(कंस PM) = 120° असेल, तर AP ची लांबी काढा?
