Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सोबतच्या आकृतीत, बिंदू M वर्तुळकेंद्र आणि रेख KL हा स्पर्शिकाखंड आहे. जर MK = 12, KL = `6sqrt3` तर
(1) वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
(2) ∠K आणि ∠M यांची मापे ठरवा.
Advertisements
उत्तर
(1) रेख KL हा बिंदू L मध्ये स्पर्शिकाखंड आहे. व रेख ML ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे. ......[पक्ष]
∴ ∠MLK = 90° ...(i) [स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
ΔMLK मध्ये, ∠MLK = 90°
∴ MK2 = ML2 + KL2 .....[पायथागोरसचे प्रमेय]
∴ 122 = ML2 + `(6sqrt3)^2`
∴ 144 = ML2 + 108
∴ ML2 = 144 - 108
∴ ML2 = 36
∴ ML = `sqrt36` = 6 एकक ......[दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन]
∴ वर्तुळाची त्रिज्या = 6 एकक
(2) आपल्याला माहीत आहे, की
ML = `1/2`MK
∴ ∠K = 30° ........(ii) [30° - 60° - 90° त्रिकोणाच्या प्रमेयाचा व्यत्यास]
ΔMLK मध्ये,
∠L = 90° ......[(i) वरून]
∠K = 30° ......[(ii) वरून]
∴ ∠M = 60° ......[ΔMLK चा उर्वरित कोन]
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
आकृती मध्ये, रेख EF हा व्यास आणि रेख DF हा स्पर्शिकाखंड आहे. वर्तुळाची त्रिज्या r आहे. तर सिद्ध करा - DE × GE = 4r2
एका वर्तुळाच्या केंद्रापासून 12.5 सेमी अंतरावरील एका बिंदूतून त्या वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी 12 सेमी आहे. तर त्या वर्तुळाचा व्यास किती सेमी आहे?
बिंदू O केंद्र असलेल्या वर्तुळाला रेषा l बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. जर वर्तुळाची त्रिज्या 9 सेमी असेल, तर खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा.
(1) d(O, P) = किती? का?
(2) जर d(O, Q) = 8 सेमी असेल. तर बिंदू Q चे स्थान कोठे असेल?
(3) d(O, R)=15 सेमी असेल तर बिंदू R ची किती स्थाने रेषा l वर असतील? ते बिंदू P किती अंतरावर असतील?
शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
आकृती मध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाचा रेख AB हा व्यास आहे. वर्तुळाची स्पर्शिका PQ वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. रेख AP ⊥ रेषा PQ आणि रेख BQ ⊥ रेषा PQ. तर सिद्ध करा - रेख CP ≅ रेख CQ.
सोबतच्या आकृतीमध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळात रेषा AB या वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते, तर ∠CAB चे माप किती अंश आहे? का?
दिलेल्या आकृतीत, केंद्र D असलेले वर्तुळ ∠ACB च्या बाजूंना बिंदू A आणि B मध्ये स्पर्श करते. जर ∠ACB = 52°, तर ∠ADB चे माप काढा.
आकृतीत रेख RM आणि रेख RN हे केंद्र O असलेल्या वर्तुळाचे स्पर्शिका खंड आहेत, तर रेख OR हा ∠MRN आणि ∠MON या दोन्ही कोनांचा दुभाजक आहे, हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
सिद्धता:
ΔRMO आणि ΔRNO यांमध्ये,
∠RMO ≅ ∠RNO = 90° ...............[`square`]
कर्ण OR ≅ कर्ण OR …..............[`square`]
बाजू OM ≅ बाजू [`square`] ..........…[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
∴ ΔRMO ≅ ΔRNO ….......[`square`]
∠MOR ≅ ∠NOR
तसेच, ∠MRO ≅ [`square`] ......................[`square`]
∴ रेख OR ∠MRN आणि ∠MON या दोन्ही कोनांची दुभाजक आहे.
खालील प्रमेय सिद्ध करा:
वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात.
वरील आकृतीत, C केंद्र असलेल्या वर्तुळाला A या बाह्यबिंदूतून AB आणि AD हे स्पर्शिकाखंड काढले आहेत. तर सिद्ध करा:
∠A = `1/2` [m(कंस BYD) - m(कंस BXD)]
