Advertisements
Advertisements
प्रश्न
आकृती मध्ये, बिंदू O वर्तुळकेंद्र आणि रेख AB व रेख AC हे स्पर्शिकाखंड आहेत. जर वर्तुळाची त्रिज्या r असेल आणि l(AB) = r असेल, तर `square`ABOC हा चौरस होतो, हे दाखवा.
Advertisements
उत्तर
पक्ष: O हे वर्तुळकेंद्र आहे.
रेख AB व रेख AC हे स्पर्शिकाखंड आहेत.
त्रिज्या = r, l(AB) = r
साध्य: `square`ABOC हा चौरस होतो.
रचना: रेख OB व रेख OC काढा.
सिद्धता:
रेख AB आणि रेख AC हे स्पर्शिकाखंड आहेत. ....[पक्ष]
∴ AB = AC ......[स्पर्शिकाखंडाचे प्रमेय]
परंतु, AB = r .....[पक्ष]
∴ AB = AC = r ...(i)
तसेच, OB = OC = r ......(ii) [एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
∴ AB = AC = OB = OC .....[(i) व (ii) वरून]
∴ `square`ABOC हा समभुज चौकोन आहे.
∴ ∠OBA = 90° ......[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
∴ `square`ABOC हा चौरस आहे. ......[समभुज चौकोनाचा एक कोन काटकोन असेल, तर तो चौरस असतो.]
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सोबतच्या आकृतीत, केंद्र C असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या 6 सेमी आहे. रेषा AB या वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते. या माहितीवरून खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या.
(1) ∠CAB चे माप किती अंश आहे? का?
(2) बिंदू C हा रेषा AB पासून किती अंतरावर आहे? का?
(3) जर d(A,B) = 6 सेमी, तर d(B,C) काढा.
(4) ∠ABC चे माप किती अंश आहे? का?
दिलेल्या आकृतीत, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या बाह्यभागातील R या बिंदूपासून काढलेले RM आणि RN हे स्पर्शिकाखंड वर्तुळाला बिंदू M आणि N मध्ये स्पर्श करतात. जर OR = 10 सेमी व वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी असेल तर-
(1) प्रत्येक स्पर्शिकाखंडाची लांबी किती?
(2) ∠MRO चे माप किती?
(3) ∠MRN चे माप किती?
आकृती मध्ये, केंद्र P आणि Q असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू R मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू R मधून जाणारी रेषा त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर -
(1) रेख AP || रेख BQ हे सिद्ध करा.
(2) ΔAPR ~ ΔRQB हे सिद्ध करा.
(3) जर ∠PAR चे माप 35° असेल, तर ∠RQB चे माप ठरवा.
आकृती मध्ये, रेख EF हा व्यास आणि रेख DF हा स्पर्शिकाखंड आहे. वर्तुळाची त्रिज्या r आहे. तर सिद्ध करा - DE × GE = 4r2
एका वर्तुळाच्या केंद्रापासून 12.5 सेमी अंतरावरील एका बिंदूतून त्या वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी 12 सेमी आहे. तर त्या वर्तुळाचा व्यास किती सेमी आहे?
आकृती मध्ये, केंद्र N असलेले वर्तुळ केंद्र M असणाऱ्या वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करते. मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या लहान वर्तुळाला बिंदू S मध्ये स्पर्श करते. जर मोठ्या व लहान वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 9 सेमी व 2.5 सेमी असतील तर खालील प्रश्नांची उत्तरे शोधा आणि त्यांवरून MS : SR हे गुणोत्तर काढा.
(1) MT = किती?
(2) MN = किती?
(3) ∠NSM = किती?
शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
खालील प्रमेय सिद्ध करा:
वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात.
दिलेल्या आकृतीत, Q केंद्र असलेल्या वर्तुळाच्या रेख PM आणि PN स्पर्शिका आहेत. जर ∠MPN = 40°, तर ∠MQN चे माप काढा.
वरील आकृतीत, C केंद्र असलेल्या वर्तुळाला A या बाह्यबिंदूतून AB आणि AD हे स्पर्शिकाखंड काढले आहेत. तर सिद्ध करा:
∠A = `1/2` [m(कंस BYD) - m(कंस BXD)]
