Question

आकृती मध्ये, केंद्र P आणि Q असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू R मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू R मधून जाणारी रेषा त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर -

(1) रेख AP || रेख BQ हे सिद्ध करा.

(2) ΔAPR ~ ΔRQB हे सिद्ध करा.

(3) जर ∠PAR चे माप 35° असेल, तर ∠RQB चे माप ठरवा.

Answer 1

केंद्र P आणि Q असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू R मध्ये स्पर्श करतात.

∴ स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार,

P-R-Q

(1) ΔPAR मध्ये,

रेख PA = रेख PR ..........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ ∠PRA ≅ ∠PAR  ...(i) [समद्विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय]

त्याचप्रमाणे, ΔQBR मध्ये,

रेख QR = रेख QB .........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ ∠RBQ ≅ ∠QRB  .....(ii) [समद्विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय]

परंतु, ∠PRA ≅ ∠QRB ......(iii) [विरुद्ध कोन]

∴ ∠PAR ≅ ∠RBQ  ....(iv) [(i) व (ii) वरून]

परंतु, वरील कोन AB ही छेदिका असता, रेख AP व रेख BQ वरील व्युत्क्रम कोन आहेत.

∴ रेख AP || रेख BQ  .....[व्युत्क्रम कोन कसोटी]

(2) ΔAPR व ΔRQB मध्ये,

∠PAR ≅ ∠QRB  ....[(i) व (iii) वरून]

∠APR ≅ ∠RQB .....[व्युत्क्रम कोन]

∴ ΔAPR ∼ ΔRQB  .....[समरूपतेच्या कोको कसोटीनुसार]

(3) ∠PAR = 35°  ....[पक्ष] 

∠RBQ = ∠PAR = 35° [(iv) वरून]

ΔRQB मध्ये,

∠RQB + ∠RBQ + ∠QRB = 180° ......[त्रिकोणाच्या कोनांच्या मापांची बेरीज 180° असते.]

∴ ∠RQB + ∠RBQ + ∠RBQ = 180°  ....[(ii) वरून]

∴ ∠RQB + 2∠RBQ = 180°

∴ ∠RQB + 2 × 35° = 180°

∴ ∠RQB + 70° = 180°

∴ ∠RQB  = 110°