Question

आकृती मध्ये, केंद्र A व B असणारी वर्तुळे परस्परांना बिंदू E मध्ये स्पर्श करतात. रेषा l ही त्यांची सामाईक स्पर्शिका त्यांना अनुक्रमे C व D मध्ये स्पर्श करते. जर वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 4 सेमी व 6 सेमी असतील, तर रेख CD ची लांबी किती असेल?

Answer 1

रचना: रेख AF ⊥ रेख BD काढा.

उकल:

i. केंद्र A व B असणारी वर्तुळे परस्परांना बिंदू E मध्ये स्पर्श करतात.  .....[पक्ष]

∴ स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार,

A-E-B

∴ ∠ACD = ∠BDC = 90°  ......[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]

∠AFD = 90°  .....[रचना]

∴ ∠CAF = 90°  .....[`square`AFDC चा उर्वरित कोन]

∴ `square`AFDC हा आयत आहे. ......[प्रत्येक कोनाचे माप 90°]

∴ AC = DF = 4 सेमी .....[आयताच्या समोरासमोरील बाजू]

आता, BD = BF + DF ......[B - F - D]

∴ 6 = BF + 4

∴ BF = 2 सेमी

तसेच, AB = AE + EB  .....[बाह्यस्पर्शी वर्तुळांच्या केंद्रांतील अंतर हे त्यांच्या त्रिज्यांच्या बेरजेएवढे असते.]

= 4 + 6 = 10 सेमी

ii. आता, ΔAFB मध्ये, ∠AFB = 90° ......[रचना]

∴ AB² = AF² + BF² ....[पायथागोरसचे प्रमेय]

∴ 10² = AF² + 2²

∴ 100 = AF² + 4

∴ AF² = 96

∴ AF = `sqrt96` .....[दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन]

= `sqrt(16 xx 6)`

= `4sqrt(6)` सेमी

परंतु, CD = AF      ......[आयताच्या समोरासमोरील बाजू]

∴ CD = `4sqrt(6)` सेमी