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प्रश्न
यदि x, y, z ∈ R, तब सारणिक `|((2x^2 + 2^(-x))^2, (2^x - 2^(-x))^2, 1),((3^x + 3^(-x))^2, (3^x -3^(-x))^2, 1),((4^x + 4^(-x))^2, (4^x - 4^(-x))^2, 1)|` बराबर है ______ ।
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उत्तर
यदि x, y, z ∈ R, तब सारणिक `|((2x^2 + 2^(-x))^2, (2^x - 2^(-x))^2, 1),((3^x + 3^(-x))^2, (3^x -3^(-x))^2, 1),((4^x + 4^(-x))^2, (4^x - 4^(-x))^2, 1)|` बराबर है 0 ।
व्याख्या:
हमारे पास है, `|((2x^2 + 2^(-x))^2, (2^x - 2^(-x))^2, 1),((3^x + 3^(-x))^2, (3^x -3^(-x))^2, 1),((4^x + 4^(-x))^2, (4^x - 4^(-x))^2, 1)|`
C1 → C1 – C2
⇒ `|((2^x + 2^-x)^2 - (2^x - 2^-x)^2, (2^x - 2^-x)^2, 1),((3^x + ^-x)^2 - (3^x -3^-x)^2, (3^x 3^-x)^2, 1),((4^x + 4^-x)^2 - (4^x - 4^-x)^2, (4^x - 4^-x)^2, 1)|`
⇒ `|(4 *2^x * 2^-x, (2^x - 2^-x)^2, 1),(4 * 3^x * 3^x, (3^x- 3^-x)^2, 1),(4 * 4^x * 4^-x, (4^x - 4^x)^2, 1)|` .....[(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab लागू करना]
⇒ `|(4, (2^x - 2^-x)^2, 1),(4, (3^x - 3^-x)^2, 1),(4, (4^x - 4^-x)^2, 1)|`
⇒ `4|(1, (2^x - 2^-x)^2, 1),(1, (3^x - 3^-x)^2, 1),(1, (4^x - 4^-x)^2, 1)|` ......(C1 से 4 उभयनिष्ठ लेना)
⇒ 4 · 0 = 0 ....(∵ C1 और C3 समान स्तंभ हैं)
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यदि x + y + z = 0, तो सिद्ध कीजिए कि `|(x"a", y"b", z"c"),(y"c", z"a", x"b"),(z"b", x"c", y"a")| = xyz|("a", "b", "c"),("c", "a", "b"),("b", "c", "a")|`
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