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प्रश्न
यदि A + B + C = 0, तो सिद्ध कीजिए कि `|(1, cos"c", cos"B"),(cos"C", 1, cos"A"),(cos"B", cos"A", 1)|` = 0
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उत्तर
L.H.S. = `|(1, cos"c", cos"B"),(cos"C", 1, cos"A"),(cos"B", cos"A", 1)|`
C1 के साथ विस्तार
= `1|(1, cos"A"),(cos"A", 1)| - cos"C"|(cos"C", cos"B"),(cos"A", 1)| + cos"B"|(cos"C", cos"B"),(1, cos"A")|`
= 1(1 – cos2A) – cos C(cos C – cos A cos B) + cos B(cos A cos C – cos B)
= sin2A – cos2C + cos A cos B cos C + cos A cos B cos C – cos2B
= sin2A – cos2B – cos2C + 2 cos A cos B cos C
= – cos(A + B) · cos(A – B) – cos2C + 2 cos A cos B cos C .....[∵ sin2A – cos2B = – cos(A + B) · cos(A – B)]
= – cos(– C) · cos(A – B) + cos C(2 cos A cos B – cos C) .....[∵ A + B + C = 0]
= – cos C(cos A cos B + sin A sin B) + cos C(2 cos A cos B – cos C)
= – cos C(cos A cos B + sin A sin B – 2 cos A cos B + cos C)
= – cos C(– cos A cos B + sin A sin B + cos C)
= cos C(cos A cos B – sin A sin B – cos C)
= cos C[cos(A + B) – cos C]
= cos C[cos (– C) – cos C] .....[∵ A + B = – C]
= cos C[cos C – cos C]
= cos C · 0
= 0 R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इसलिए साबित हुआ।
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निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए।
`|(2,4),(-5, -1)|`
यदि A = `[(1,2),(4,2)]`, तो दिखाइए |2A| = 4|A|।
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यदि `|(x, 2),(18, x)| = |(6,2),(18,6)|` हो तो x बराबर है:
सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि `[(a,a^2,bc),(b,b^2,ca),(c,c^2,ab)] = [(1,a^2,a^3),(1,b^2,b^3),(1,c^2,c^3)]`
दर्शाइए कि Δ = `|(x, "p", "q"),("p", x, "q"),("q", "q", x)| = (x - "p")(x^2 + "p"x - 2"q"^2)`
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यदि A, B, C एक त्रिभुज के कोण हैं तब ∆ = `|(sin^2"A", cot"A", 1),(sin^2"B", cot"B", 1),(sin^2"C", cot"C", 1)|` = ______
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यदि A = `[(0, 1, 1),(1, 0, 1),(1, 1, 0)]` तो A–1 ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि A–1 = `("A"^2 - 3"I")/2`.
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यदि A, B और C एक त्रिभुज के कोण हैं तो सारणिक
`|(-1, cos"C", cos"B"),(cos"C", -1, cos"A"),(cos"B", cos"A", -1)|` बराबर है।
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