Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p, q, r पदों का योगफल क्रमशः a, b, तथा c, हो तो सिद्ध कीजिए कि: `"a"/"p"("q" - "r") + "b"/"q"("r" - "p") + "c"/"r"("p" - "q") = 0`
Advertisements
उत्तर
p पदों का योगफल = `"p"/2[2"a" + ("p" - 1)d] = "a"`
`2"a" + ("p" - 1)"d" = (2"a")/"p"` ............(i)
q पदों का योगफल = `"q"/2[2"a" + ("q" - 1)"d"] = b`
`2"a"("q" - 1)"d" = (2"b")/"q"` ...............(ii)
r पदों का योगफल = `"r"/2[2"a" + ("r" - 1)"d"] = "c"`
∴ `2"a" + ("r" - 1)"d" = (2"c")/"r"` ............(iii)
समीकरण (i) को q − r से, समीकरण (ii) को (r − p) से, समीकरण (i) को (p − q) से गुणा करके जोड़ने पर
[2a + (p − 1)d](q − r) + [2a + (q − 1)d](r − p) + [2a + (r − 1)d](p − q)
= `(2"a")/"p" ("q" - "r") + (2"b")/"q"("r" - "p") + (2"c")/"r"("p" - "q")`
⇒ `(2"a")/"p" ("q" - "r") + (2"b")/"q"("r" - "p") + (2"c")/"r"("p" - "q")`
= 2a[q − r + r − p + p − q] + d[(p − 1)(q − r)] + (q − 1)(r − p) + (r − 1)(p − q)]
= 0 + d [p(q − r) + q(r − p) + r(p − q) −q − r + −p + p −q]
= d [pq − pr + qr − pq + pr − qr]
= 0
2 से भाग देने पर
`"a"/"p" ("q" - "r") + "b"/"q" ("r" - "p") + "c"/"r" ("p" - "q") = 0`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
1 से 2001 तक के विषम पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।
100 तथा 1000 के मध्य उन सभी प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 5 के गुणज हों।
किसी समांतर श्रेणी में प्रथम पद 2 है तथा प्रथम पाँच पदों का योगफल, अगले पाँच पदों के योगफल का एक चौथाई है। दर्शाइए कि 20वाँ पद −112 है।
समांतर श्रेणी −6, `-11/2`, −5, ..... के कितने पदों का योगफल –25 है?
किसी समांतर श्रेणी का pवाँ पद `1/"q"` तथा qवाँ पद `1/"p"`, हो तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम pq पदों का योग `1/2 ("pq" + 1)` होगा जहाँ p ≠ q
यदि किसी समांतर श्रेणी 25, 22, 19, …... के कुछ पदों का योगफल 116 है तो अंतिम पद ज्ञात कीजिए।
दो समांतर श्रेणियों के n पदों के योगफल का अनुपात 5n + 4 : 9n + 6 हो, तो उनके 18 वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
5 और 26 के बीच ऐसी 5 संख्याएँ डालिए ताकि प्राप्त अनुक्रम समांतर श्रेणी बन जाए।
एक व्यक्ति ॠण का भुगतान 100 रुपये की प्रथम किश्त से शुरू करता है। यदि वह प्रत्येक किश्त में 5 रुपये प्रति माह बढ़ता है तो 30 वीं किश्त की राशि क्या होगी?
यदि किसी समांतर श्रेणी के nवें पदों का योगफल 3n2 + 5n हैं तथा इसका mवाँ पद 164 है, तो m का मान ज्ञात कीजिए।
किसी समांतर श्रेणी के m तथा n पदों के योगफलों का अनुपात m2 : n2 है तो दर्शाइए कि m वें तथा n वें पदों का अनुपात (2m – 1) : (2n – 1) है।
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग, प्रथम q पदों के योगफल के बराबर हो तो प्रथम (p + q) पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
यदि `("a"^"n" + "b"^"n")/("a"^("n"- 1) + "b"^("n" - 1))`, a तथा b के मध्य समांतर माध्य हो तो n का मान ज्ञात कीजिए।
m संख्याओं को 1 तथा 31 के रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है और 7वीं एवं (m – 1) वीं संख्याओं का अनुपात 5 : 9 है। तो m का मान ज्ञात कीजिए।
एक बहुभुज के दो क्रमिक अंत: कोणों का अंतर 5° है। यदि सबसे छोटा कोण 120° हो, तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
यदि किसी समांतर श्रेणी की तीन संख्याओं का योग 24 है तथा उनका गुणनफल 440 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
माना कि किसी समांतर श्रेणी के n, 2n तथा 3n पदों का योगफल क्रमशः S1, S2 तथा S3 है तो दिखाइए कि S3 = 3(S2 – S1)
200 और 400 के मध्य आने वाली उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 7 से विभाजित हों।
1 से 100 तक आने वाले उन सभी पूर्णांकों का योगफल ज्ञात कीजिए जो 2 या 5 से विभाजित हों।
दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए, जिनको 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1 हो।
किसी समांतर श्रेणी का pवाँ, qवाँ, rवाँ पद क्रमशः a, b, c हैं, तो सिद्ध कीजिए
(q – r)a + (r – p)b + (p – q) c = 0
यदि `"a"(1/"b" + 1/"c"), "b"(1/"c" + 1/"a"), "c"(1/"a" + 1/"b")` समांतर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं।
किसी कार्य को कुछ दिनों में पूरा करने के लिए 150 कर्मचारी लगाए गए। दूसरे दिन 4 कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया, तीसरे दिन 4 और कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया तथा इस प्रकार अन्य। अब कार्य पूर्ण करने में 8 दिन अधिक लगते हैं, तो दिनों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें कार्य पूरा किया गया।
