मराठी

वृत्त की उस जीवा द्वारा निर्मित दोनों वृत्तखंडों के क्षेत्रफलों का अंतर ज्ञात कीजिए, जिसकी लंबाई 5 cm है और जो केंद्र पर 90∘ का कोण अंतरित करती है। - Mathematics (गणित)

Advertisements
Advertisements

प्रश्न

वृत्त की उस जीवा द्वारा निर्मित दोनों वृत्तखंडों के क्षेत्रफलों का अंतर ज्ञात कीजिए, जिसकी लंबाई 5 cm है और जो केंद्र पर 90का कोण अंतरित करती है।

बेरीज
Advertisements

उत्तर


मान लीजिए कि वृत्त की त्रिज्या r है।

दिया गया है कि, एक वृत्त की जीवा की लंबाई, AB = 5 cm है।

और त्रिज्यखंड AOBA का केंद्रीय कोण (θ) = 90° है।

अब, ΔAOB में,

(AB)2 = (OA)2 + (OB)2   ...[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]

(5)2 = r2 + r2

⇒ 2r2 = 25

∴ r = `5/sqrt(2) "cm"`

अब, ΔAOB में हम एक लंब रेखा OD खींचते हैं, जो AB पर D पर मिलती है और जीवा AB को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।

So, AD = DB

= `"AB"/2`

= `5/2 "cm"`   ...[∵ वृत्त की जीवा पर केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।]

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, ΔADO में,

OA2 = OD2 + AD2

⇒ OD2 = OA2 – AD2 

= `(5/sqrt(2))^2 - (5/2)^2`

= `25/2 - 25/4`

= `(50 - 25)/4`

= `25/4`

⇒ OD = `5/2 "cm"`

∴ एक समद्विबाहु ΔAOB का क्षेत्रफल

= `1/2 xx "AB" xx "OD"`

= `1/2 xx 5 xx 5/2`

= `25/4 "cm"^2` 

अब, सेक्टर AOBA का क्षेत्रफल

= `(pi"r"^2)/360^circ xx θ`

= `(pi xx (5/sqrt(2))^2)/360^circ xx 90^circ`

= `(pi xx 25)/(2 xx 4)`

= `(25pi)/8 "cm"^2`

∴ लघु खण्ड का क्षेत्रफल

= त्रिज्यखंड AOBA का क्षेत्रफल – एक समद्विबाहु ΔAOB का क्षेत्रफल

= `((25pi)/8 - 25/4) "cm"^2`

अब, वृत्त का क्षेत्रफल

= πr2

= `pi(5/sqrt(2))^2`

= `(25pi)/2 "cm"^2`

∴ प्रमुख खण्ड का क्षेत्रफल

= वृत्त का क्षेत्रफल – लघु खण्ड का क्षेत्रफल

= `(25pi)/2 - ((25pi)/8 - 25/4)`

= `(25pi)/8 (4 - 1) + 25/4`

= `((75pi)/8 + 25/4) "cm"^2`

∴ एक वृत्त के दो खंडों के क्षेत्रफलों का अंतर

= प्रमुख खंड का क्षेत्रफल – लघु खंड का क्षेत्रफल

= `((75pi)/8 + 25/4) - ((25pi)/8 - 25/4)`

= `((75pi)/8 - (25pi)/8) + (25/4 + 25/4)`

= `(75pi - 25pi)/8 + 50/4`

= `(50pi)/8 + 50/4`

= `((25pi)/4 + 25/2) "cm"^2`

अतः, दो खंडों के क्षेत्रफलों का आवश्यक अंतर `((25pi)/4 + 25/2) "cm"^2` है।

shaalaa.com
त्रिज्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रफल
  या प्रश्नात किंवा उत्तरात काही त्रुटी आहे का?
पाठ 11: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल - प्रश्नावली 11.4 [पृष्ठ १३७]

APPEARS IN

एनसीईआरटी एक्झांप्लर Mathematics [Hindi] Class 10
पाठ 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
प्रश्नावली 11.4 | Q 19. | पृष्ठ १३७

संबंधित प्रश्‍न

त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए

चाप की लंबाई  [प्रयोग कीजिए= `22/7`]


दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 सेमी, PR = 7 सेमी तथा O वृत्त का केंद्र है। [उपयोग Π = `22/7`]


आकृति में, व्यास d वाले एक वृत्त के अंतर्गत एक वर्ग खींचा गया है तथा एक अन्य वर्ग इसी वृत्त के परिगत है। क्या बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल आंतरिक वर्ग के क्षेत्रफल का चार गुना है? अपने उत्तर का कारण दीजिए। 


दो वृत्तों के क्षेत्रफल बराबर हैं। क्या यह आवश्यक है कि इन वृत्तों की परिधियाँ भी बराबर हों? क्यों?


विमाओं 20 m × 16 m वाले एक आयताकार खेत के कोने पर एक गाय 14 m लंबी रस्सी से बँधी हुई है। खेत का वह क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें गाय चर सकती है।


किसी वृत्ताकार खेल के मैदान का क्षेत्रफल 22176 m2 है। इस मैदान पर 50 रु प्रति मीटर की दर से बाड़ लगवाने का व्यय ज्ञात कीजिए।


त्रिज्या 12 cm वाले वृत्त के उस वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके संगत त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 60° है (π=3.14 का प्रयोग कीजिए)।


बराबर त्रिज्या 3.5 cm वाले तीन वृत्त इस प्रकार खींचे गये हैं कि इनमें से प्रत्येक अन्य दो वृत्तों को स्पर्श करता है। इन वृत्तों से परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।


एक समचतुर्भुज के सभी शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हैं। इस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि वृत्त का क्षेत्रफल 1256 cm2 है (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।


त्रिज्याओं 7 cm और 21 cm वाले दो वृत्तों के दो त्रिज्यखंडों के केंद्रीय कोण क्रमशः 120और 40हैं। इन दोनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल तथा साथ ही संगत चापों की लंबाई ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?


Share
Notifications

Englishहिंदीमराठी


      Forgot password?
Use app×