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प्रश्न
वृत्त की उस जीवा द्वारा निर्मित दोनों वृत्तखंडों के क्षेत्रफलों का अंतर ज्ञात कीजिए, जिसकी लंबाई 5 cm है और जो केंद्र पर 90∘ का कोण अंतरित करती है।
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उत्तर
मान लीजिए कि वृत्त की त्रिज्या r है।
दिया गया है कि, एक वृत्त की जीवा की लंबाई, AB = 5 cm है।
और त्रिज्यखंड AOBA का केंद्रीय कोण (θ) = 90° है।
अब, ΔAOB में,
(AB)2 = (OA)2 + (OB)2 ...[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]
(5)2 = r2 + r2
⇒ 2r2 = 25
∴ r = `5/sqrt(2) "cm"`
अब, ΔAOB में हम एक लंब रेखा OD खींचते हैं, जो AB पर D पर मिलती है और जीवा AB को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
So, AD = DB
= `"AB"/2`
= `5/2 "cm"` ...[∵ वृत्त की जीवा पर केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।]
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, ΔADO में,
OA2 = OD2 + AD2
⇒ OD2 = OA2 – AD2
= `(5/sqrt(2))^2 - (5/2)^2`
= `25/2 - 25/4`
= `(50 - 25)/4`
= `25/4`
⇒ OD = `5/2 "cm"`
∴ एक समद्विबाहु ΔAOB का क्षेत्रफल
= `1/2 xx "AB" xx "OD"`
= `1/2 xx 5 xx 5/2`
= `25/4 "cm"^2`
अब, सेक्टर AOBA का क्षेत्रफल
= `(pi"r"^2)/360^circ xx θ`
= `(pi xx (5/sqrt(2))^2)/360^circ xx 90^circ`
= `(pi xx 25)/(2 xx 4)`
= `(25pi)/8 "cm"^2`
∴ लघु खण्ड का क्षेत्रफल
= त्रिज्यखंड AOBA का क्षेत्रफल – एक समद्विबाहु ΔAOB का क्षेत्रफल
= `((25pi)/8 - 25/4) "cm"^2`
अब, वृत्त का क्षेत्रफल
= πr2
= `pi(5/sqrt(2))^2`
= `(25pi)/2 "cm"^2`
∴ प्रमुख खण्ड का क्षेत्रफल
= वृत्त का क्षेत्रफल – लघु खण्ड का क्षेत्रफल
= `(25pi)/2 - ((25pi)/8 - 25/4)`
= `(25pi)/8 (4 - 1) + 25/4`
= `((75pi)/8 + 25/4) "cm"^2`
∴ एक वृत्त के दो खंडों के क्षेत्रफलों का अंतर
= प्रमुख खंड का क्षेत्रफल – लघु खंड का क्षेत्रफल
= `((75pi)/8 + 25/4) - ((25pi)/8 - 25/4)`
= `((75pi)/8 - (25pi)/8) + (25/4 + 25/4)`
= `(75pi - 25pi)/8 + 50/4`
= `(50pi)/8 + 50/4`
= `((25pi)/4 + 25/2) "cm"^2`
अतः, दो खंडों के क्षेत्रफलों का आवश्यक अंतर `((25pi)/4 + 25/2) "cm"^2` है।
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