Question

वृत्त की उस जीवा द्वारा निर्मित दोनों वृत्तखंडों के क्षेत्रफलों का अंतर ज्ञात कीजिए, जिसकी लंबाई 5 cm है और जो केंद्र पर 90^∘ का कोण अंतरित करती है।

Answer 1

मान लीजिए कि वृत्त की त्रिज्या r है।

दिया गया है कि, एक वृत्त की जीवा की लंबाई, AB = 5 cm है।

और त्रिज्यखंड AOBA का केंद्रीय कोण (θ) = 90° है।

अब, ΔAOB में,

(AB)² = (OA)² + (OB)²   ...[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]

(5)² = r² + r²

⇒ 2r² = 25

∴ r = `5/sqrt(2) "cm"`

अब, ΔAOB में हम एक लंब रेखा OD खींचते हैं, जो AB पर D पर मिलती है और जीवा AB को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।

So, AD = DB

= `"AB"/2`

= `5/2 "cm"`   ...[∵ वृत्त की जीवा पर केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।]

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, ΔADO में,

OA² = OD² + AD²

⇒ OD² = OA² – AD² 

= `(5/sqrt(2))^2 - (5/2)^2`

= `25/2 - 25/4`

= `(50 - 25)/4`

= `25/4`

⇒ OD = `5/2 "cm"`

∴ एक समद्विबाहु ΔAOB का क्षेत्रफल

= `1/2 xx "AB" xx "OD"`

= `1/2 xx 5 xx 5/2`

= `25/4 "cm"^2` 

अब, सेक्टर AOBA का क्षेत्रफल

= `(pi"r"^2)/360^circ xx θ`

= `(pi xx (5/sqrt(2))^2)/360^circ xx 90^circ`

= `(pi xx 25)/(2 xx 4)`

= `(25pi)/8 "cm"^2`

∴ लघु खण्ड का क्षेत्रफल

= त्रिज्यखंड AOBA का क्षेत्रफल – एक समद्विबाहु ΔAOB का क्षेत्रफल

= `((25pi)/8 - 25/4) "cm"^2`

अब, वृत्त का क्षेत्रफल

= πr²

= `pi(5/sqrt(2))^2`

= `(25pi)/2 "cm"^2`

∴ प्रमुख खण्ड का क्षेत्रफल

= वृत्त का क्षेत्रफल – लघु खण्ड का क्षेत्रफल

= `(25pi)/2 - ((25pi)/8 - 25/4)`

= `(25pi)/8 (4 - 1) + 25/4`

= `((75pi)/8 + 25/4) "cm"^2`

∴ एक वृत्त के दो खंडों के क्षेत्रफलों का अंतर

= प्रमुख खंड का क्षेत्रफल – लघु खंड का क्षेत्रफल

= `((75pi)/8 + 25/4) - ((25pi)/8 - 25/4)`

= `((75pi)/8 - (25pi)/8) + (25/4 + 25/4)`

= `(75pi - 25pi)/8 + 50/4`

= `(50pi)/8 + 50/4`

= `((25pi)/4 + 25/2) "cm"^2`

अतः, दो खंडों के क्षेत्रफलों का आवश्यक अंतर `((25pi)/4 + 25/2) "cm"^2` है।