Advertisements
Advertisements
प्रश्न
उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠CAD = ∠CBD हैं।
Advertisements
उत्तर
ΔABC में,
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180° ...(त्रिभुज के कोणों के योग का गुण)
⇒ 90° + ∠BCA + ∠CAB = 180°
⇒ ∠BCA + ∠CAB = 90° ...(1)
ΔADC में,
∠CDA + ∠ACD + ∠DAC = 180° ...(त्रिभुज के कोणों के योग का गुण)
⇒ 90° + ∠ACD + ∠DAC = 180°
⇒ ∠ACD + ∠DAC = 90° ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है
∠BCA + ∠CAB + ∠ACD + ∠DAC = 180°
⇒ (∠BCA + ∠ACD) + (∠CAB + ∠DAC) = 180°
∠BCD + ∠DAB = 180° ...(3)
हालाँकि, यह दिया गया है कि
∠B + ∠D = 90° + 90° = 180° ...(4)
समीकरण (3) और (4) से यह देखा जा सकता है कि चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों के मापों का योग 180° है। अतः यह एक चक्रीय चतुर्भुज है।
कॉर्ड CD पर विचार करें।
∠CAD = ∠CBD ...(एक ही खंड में कोण)
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
दो वृत्त दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं । B से जाने वाले दो रेखाखंड ABD और PBQ वृतों को A, D और P, Q पर क्रमश: प्रतिछेद करते हुए खींचे गए हैं (देखिए आकृति में)। सिद्ध कीजिए कि ∠ACP = ∠QCD है।
एक वृत्त की क्रमशः 5 सेमी 11 सेमी लम्बाई की दो जीवाएँ AB और CD एक दूसरे के समानांतर हैं और इसके केंद्र के विपरीत दिशा में हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है।
किसी त्रिभुज ABC में, यदि ∠A का समद्विभाजक तथा BC का लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि वे ∆ABC के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, जिसमें ∠A = 90°, ∠B = 70°, ∠C = 95° और ∠D = 105° है।
यदि A, B, C और D चार बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAC = 45° और ∠BDC = 45° है, तो A, B, C और D चक्रीय है।
यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के समांतर कोई रेखा उसकी बराबर भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बना चतुर्भुज चक्रीय होता है।
एक चतुर्भुज ABCD एक वृत्त के अंतर्गत इस प्रकार है कि AB वृत्त का व्यास है और ∠ADC = 130° है। ∠BAC ज्ञात कीजिए।
यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि यह एक चक्रीय है।
