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प्रश्न
मान लीजिए कि एक कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त के साथ समान जीवाओं AD और CE को प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠ABC, जीवाओं AC और DE द्वारा केंद्र में अंतरित कोणों के अंतर के आधे के बराबर है।
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उत्तर
In ΔAOD तथा ΔCOE,
OA = OC (एक ही वृत्त की त्रिज्या)
OD = OE (एक ही वृत्त की त्रिज्या)
AD = CE (दिया गया)
∴ ΔAOD ≅ ΔCOE (SSS सर्वांगसमता नियम)
∠OAD = ∠OCE (By CPCT) ... (1)
∠ODA = ∠OEC (By CPCT) ... (2)
Also,
∠OAD = ∠ODA (As OA = OD) ... (3)
समीकरण (1), (2), और (3) से, हम प्राप्त करते हैं
∠OAD = ∠OCE = ∠ODA = ∠OEC
Let ∠OAD = ∠OCE = ∠ODA = ∠OEC = x
In Δ OAC,
OA = OC
∴ ∠OCA = ∠OAC (होने देना a)
In Δ ODE,
OD = OE
∠OED = ∠ODE (होने देना y)
ADEC एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠CAD + ∠DEC = 180° (सम्मुख कोण संपूरक होते हैं)
x + a + x + y = 180°
2x + a + y = 180°
y = 180º − 2x − a ... (4)
हालाँकि, ∠DOE = 180º − 2y
And, ∠AOC = 180º − 2a
∠DOE − ∠AOC = 2a − 2y = 2a − 2 (180º − 2x − a)
= 4a + 4x − 360° ... (5)
∠BAC + ∠CAD = 180º (रैखिक जोड़ी)
⇒ ∠BAC = 180º − ∠CAD = 180º − (a + x)
इसी तरह, ∠ACB = 180º − (a + x)
In ΔABC,
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180º
(एक त्रिभुज के कोण योग गुण)
∠ABC = 180º − ∠BAC − ∠ACB
= 180º − (180º − a − x) − (180º − a −x)
= 2a + 2x − 180º
= `1/2` [4a + 4x − 360°]
∠ABC = `1/2` [∠DOE − ∠ AOC] [समीकरण का उपयोग करना (5)]
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