Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण BD और AC हैं, जो एक दूसरे को बिंदु O पर काटते हैं।
∠BAD = `1/2angleBOD`
= `180^@/2`
= 90° ...(BD को एक जीवा मान लीजिए)
∠BCD + ∠BAD = 180° ...(चक्रीय चतुर्भुज)
∠BCD = 180° − 90° = 90°
∠ADC = `1/2angleAOC`
= `1/2(180^@)`
= 90° ...(AC को जीवा मानकर)
∠ADC + ∠ABC = 180° ...(चक्रीय चतुर्भुज)
90° + ∠ABC = 180°
∠ABC = 90°
चक्रीय चतुर्भुज का प्रत्येक अंत: कोण 90° का होता है। अत: यह एक आयत है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए। पुनः यदि AB = BC हो, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।
उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠CAD = ∠CBD हैं।
एक वृत्त की क्रमशः 5 सेमी 11 सेमी लम्बाई की दो जीवाएँ AB और CD एक दूसरे के समानांतर हैं और इसके केंद्र के विपरीत दिशा में हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
एक वृत्त की दो समानांतर जीवाओं की लंबाई 6 सेमी और 8 सेमी है। यदि छोटी जीवा केंद्र से 4 सेमी की दूरी पर है, तो केंद्र से दूसरी जीवा की दूरी क्या है?
मान लीजिए कि एक कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त के साथ समान जीवाओं AD और CE को प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠ABC, जीवाओं AC और DE द्वारा केंद्र में अंतरित कोणों के अंतर के आधे के बराबर है।
सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है।
AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित होती हैं। सिद्ध कीजिए:
(I) AC और BD व्यास हैं,
(Ii) ABCD एक आयत है।
दो सर्वांगसम वृत्त परस्पर बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर कोई रेखाखंड PAQ इस प्रकार खींचा गया है कि P और Q दोनों वृत्तों पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि BP = BQ है।
यदि A, B, C और D चार बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAC = 45° और ∠BDC = 45° है, तो A, B, C और D चक्रीय है।
यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर है, तो सिद्ध कीजिए कि इसके विकर्ण भी बराबर हैं।
