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प्रश्न
तडवेल मेंं किसान श्री. दिनेश के आयताकार खेत की लंबाई, चौडा़ई से 2 गुनी से 10 मीटर अधिक है। उन्होंने उस खेत मेंं बारिश का पानी एकत्र करने के लिए खेत की चौडा़ई के `1/3` गुने भुजा वाले वर्गाकार खेत मेंं तालाब का निर्माण किया, तब मूल खेत का क्षेत्रफलक खेत मेंं बने तालाब के क्षेत्रफल का 20 गुणा होता है। तो उस खेत की लंबाई और चौडा़ई तथा खेत में बने की तालाब भुजा की लंबाई ज्ञात करो।
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उत्तर
मानो, आयताकार खेत की चौडा़ई x मीटर है।
∴ उस खेत की लंबाई (2x + 10) मीटर होगी।
खेत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौडा़ई
= (2x + 10) × x
= (2x2 + 10x) वर्ग मीटर
वर्गाकार तालाब की एक भुजा की लंबाई = `1/3`x मीटर
∴ तालाब का क्षेत्रफल = (भुजा)2
= `(1/3"x")^2`
= `"x"^2/9` वर्ग मीटर
दी गई शर्त के अनुसार,
∴ `2"x"^2 + 10"x" = 20 xx "x"^2/9`
∴ 18x2 + 90x = 20x2 .....(प्रत्येक पक्ष में 9 से गुणा करने पर)
∴ 20x2 − 18x2 − 90x = 0
∴ 2x2 − 90x = 0
∴ x2 − 45x = 0 .......(समीकरण के प्रत्येक पक्ष में 2 से भाग देने पर)
∴ x(x − 45) = 0
∴ x = 0 अथवा x = 45
परंतु, खेत की चौडा़ई 0 नहीं हो सकती।
∴ x ≠ 0
∴ x = 45
∴ खेत की चौडा़ई = 45 मीटर
∴ खेत की लंबाई = 2x+ 10
= 2 × 45 + 10
= 90 + 10
= 100 मी।
आयताकार तालाब की लंबाई = `1/3`x
= `1/3 xx 45`
= 15 मीटर
∴ खेत की लंबाई 100 मी, चौडा़ई 45 मी तथा तालाब की प्रत्येक भुजा की लंबाई 15 मी है।
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∴ `33 = 1/2("x" + 2"x" + 1) xx square`
∴ `square` = (3x + 1) × `square`
∴ 3x2 + `square` − `square` = 0
∴ 3x (____) + 10 (____) = 0
∴ (3x + 10) (_____) = 0
∴ (3x + 10) = 0 या `square` = 0
∴ x = `- 10/3` या x = `square`
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