Question

सिद्ध कीजिए कि `sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।

Answer 1

इसके विपरीत, मान लें कि `sqrt5` अपरिमेय है।

अर्थात, हम पूर्णांक a और b (≠0) इस प्रकार पा सकते हैं कि `sqrt5 = a/b`

मान लें कि a और b में 1 के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो हम उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दे सकते हैं और मान सकते हैं कि a और b सह-अभाज्य हैं।

इसलिए, b`sqrt5` = a

दोनों पक्षों पर वर्ग करने पर 5b² = a²    ...(1)

उपर्युक्त का तात्पर्य है कि a² 5 से विभाज्य है और a भी 5 से विभाज्य है।

इसलिए, हम लिख सकते हैं कि किसी पूर्णांक k के लिए a = 5k.

(1) 5b² = (5k)²

5b² = 25k² (या) b² = 5k²

⇒ b² 5 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि b भी 5 से विभाज्य है।

इसलिए, a और b का सामान्य गुणनखंड 5 है।

यह इस तथ्य का खंडन करता है कि a और b सह अभाज्य हैं।

हम ऊपर दिए गए विरोधाभासी कथन पर पहुँचे क्योंकि हमारी अनुमान `sqrt5` सही नहीं है।

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि `sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।

Answer 2

माना `sqrt5` एक परिमेय संख्या `a/b` के रुप की है, जहाँ b ≠ 0

माना `sqrt5 = a/b`

दोनों तरफ़ वर्ग करने पर,

`(sqrt5)^2 = (a/b)^2`

⇒ `5 = a^2/b^2`

⇒ a² = 5b²       ...(1)

यदि a², 5 से विभाज्य है तो a भी 5 से विभाज्य होगा।

माना a = 5k, जहाँ k कोई पूर्णान्क है।

दोनों तरफ़ वर्ग करने पर,

⇒ `a^2 = (5k)^2`

समीकरण (1) में मान रखने पर 

⇒ `(5k)^2 = 5b^2`

⇒ `b^2 = 5k^2`       ...(2)

यदि b², 5 से विभाज्य है तो b भी 5 से विभाज्य होगा।

समीकरण (1) एवं (2) से हम कह सकते है कि a और b दोनों 5 से विभाज्य है।

यह हमारी अनुमान के विपरीत है।

इसलिये हम कह सकते है कि `sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।