Question

सिद्ध कीजिए कि `3 + 2sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।

Answer 1

यदि संभव हो तो a = 3 + 2`sqrt5` को एक परिमेय संख्या मान लें।

हम दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं कि `3 + 2sqrt5 = a/b,` जहाँ b ≠ 0

`(a - 3b)/b`

= `2sqrt5`

= `(a - 3b)/(2b)`

= `sqrt5`

∵ a और b पूर्णांक हैं,

∴ `(a - 3b)/(2b)`

= `"पूर्णांक - 3 (पूर्णांक)"/"2 पूर्णांक"`

= `(a - 3b)/ (2b)` परिमेय है।

= (1) से, `sqrt 5` परिमेय है।

= लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि `sqrt5` परिमेय है।

∴ हमारा अनुमान गलत है।

अतः `3 + 2sqrt5` अपरिमेय है।

Answer 2

इसके विपरीत मान लीजिए कि `3 + 2sqrt5` एक परिमेय संख्या है।

हम किसी भी परिमेय संख्या को `a/b` के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और b ≠ 0 है।

इसलिए,

`a/b = 3 + 2sqrt5`

और a तथा b को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित कर एक सह-अभाज्य संख्या a तथा b प्राप्त कर सकते हैं |

अतः `3 + 2sqrt5 = a/b`

या `2sqrt5 = a/b - 3`

या `2sqrt5 = (a - 3b)/b`

या `sqrt5 = (a - 3b)/(2b)`

चूँकि a तथा b पूर्णांक है और 2 तथा 3 भी पूर्णांक है।

इसलिए `(a - 3b)/(2b)` एक परिमेय संख्या है जबकि वाया पक्ष `sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।

इससे एक विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है कि `sqrt5` 

परिमेय संख्या है।

ऐसा विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि `3 + 2sqrt5` एक परिमेय संख्या है।

अतः `3 + 2sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।