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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि `3 + 2sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।
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उत्तर १
यदि संभव हो तो a = 3 + 2`sqrt5` को एक परिमेय संख्या मान लें।
हम दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं कि `3 + 2sqrt5 = a/b,` जहाँ b ≠ 0
`(a - 3b)/b`
= `2sqrt5`
= `(a - 3b)/(2b)`
= `sqrt5`
∵ a और b पूर्णांक हैं,
∴ `(a - 3b)/(2b)`
= `"पूर्णांक - 3 (पूर्णांक)"/"2 पूर्णांक"`
= `(a - 3b)/ (2b)` परिमेय है।
= (1) से, `sqrt 5` परिमेय है।
= लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि `sqrt5` परिमेय है।
∴ हमारा अनुमान गलत है।
अतः `3 + 2sqrt5` अपरिमेय है।
उत्तर २
इसके विपरीत मान लीजिए कि `3 + 2sqrt5` एक परिमेय संख्या है।
हम किसी भी परिमेय संख्या को `a/b` के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और b ≠ 0 है।
इसलिए,
`a/b = 3 + 2sqrt5`
और a तथा b को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित कर एक सह-अभाज्य संख्या a तथा b प्राप्त कर सकते हैं |
अतः `3 + 2sqrt5 = a/b`
या `2sqrt5 = a/b - 3`
या `2sqrt5 = (a - 3b)/b`
या `sqrt5 = (a - 3b)/(2b)`
चूँकि a तथा b पूर्णांक है और 2 तथा 3 भी पूर्णांक है।
इसलिए `(a - 3b)/(2b)` एक परिमेय संख्या है जबकि वाया पक्ष `sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।
इससे एक विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है कि `sqrt5`
परिमेय संख्या है।
ऐसा विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि `3 + 2sqrt5` एक परिमेय संख्या है।
अतः `3 + 2sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।
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