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प्रश्न
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int sin^-1 sqrt(x/("a" + x)) "d"x` (संकेत: x = a tan2θ रखिए)
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उत्तर
मान लीजिए I = `int sin^-1 sqrt(x/("a" + x)) "d"x`
x = a tan2θ रखिए
dx = 2a tan θ . sec2θ . dθ
∴ I = `int sin^-1 sqrt(("a" tan^2theta)/("a" + "a" tan^2 theta)) * 2"a" tan theta * sec^2theta "d"theta`
= `int sin^-1 (sqrt("a") tan theta)/(sqrt("a") tan theta) * 2"a" tan theta * sec theta "d"theta`
= `int sin^-1 ((sintheta/costheta)/(1/costheta)) * 2"a" tan theta * sec^2theta "d"theta`
= `int sin^-1 (sin theta) * 2"a" tan theta * sec^2theta "d"theta`
= `2"a" int theta tan theta * sec^2theta "d"theta`
= `2"a"[theta int tan theta * sec^2 theta "d"theta - int ["D"(theta) * int tan theta * sec^2 theta "d"theta]]`
= `2"a" [theta * (tan^2theta)/2 - int (1*tan^2theta)/2 "d"theta]`
= `2"a"[theta * (tan^2theta)/2 - 1/2 int (sec^2theta - 1)"d"theta]`
= `2"a"[theta* (tan^2theta)/2 - 1/2 (tantheta - theta)]`
= `2"a"[theta * (tan^2theta)/2 - 1/2 tan theta + 1/2 theta]`
= `2"a"[tan^-1 sqrt(x/"a") * x/(2"a") - 1/2 sqrt(x/"a") + 1/2 tan^-1 sqrt(x/"a")] + "C"`
= `"a"[x/"a" tan^-1 sqrt(x/"a") - sqrt(x/"a") + tan^-1 sqrt(x/"a")] + "C"`
अत:, I = `"a"[x/"a" tan^-1 sqrt(x/"a") - sqrt(x/"a") + tan^-1 sqrt(x/"a")] + "C"`
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