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प्रश्न
एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लंबाई 50 m है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में `1/4` m की चढ़ाई है और `1/2` m का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए आकृति)।इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।
[संकेत: पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = `1/4 xx 1/2 xx 50` m3 है।]
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उत्तर
आकृति से पता चलता है कि,
पहली सीढ़ी = `1/2`
दूसरी सीढ़ी = 1
तीसरी सीढ़ी = `3/2`
इसलिए, प्रत्येक चरण की चौड़ाई हर बार `1/2` मीटर बढ़ रही है जबकि उनकी ऊंचाई `1/4` मीटर और लंबाई
50 मीटर वही रहता है।
इसलिए, इन सीढ़ियों की चौड़ाई है
∴ `1/2,1, 3/2, 2`,...
पहली सीढ़ी का आयतन = `1/4 × 1/2 × 50 = 25/4` m3
दूसरी सीढ़ी का आयतन = `1/4 × 1 × 50 = 50/4` m3
तीसरी सीढ़ी का आयतन = `1/4 × 3/2 × 50 = 75/4` m3
यह देखा जा सकता है कि इन चरणों में कंक्रीट की मात्रा A.P. में है।
`25/4,50/4, 75/4,...`
a = `25/4`
n = 15
और d = `(50/4 - 25/4)`
d = `25/4`
∵ `S_n = n/2[2a + (n - 1)d]`
`S_15 = 15/2[2(25/4)+(15-1)25/4]`
`=15/2[25/2+((14)25)/4]`
`= 15/2[25/2 + 175/2]`
=`15/2(100)`
= 750
चबूतरे को बनाने के लिए आवश्यक कंक्रीट की मात्रा 750 m3 है।
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