Question

एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।

[संकेत: S_{x - 1} = S₄₉ - S_x है।]

Answer 1

x का ऐसा मान मान लें कि x क्रमांक वाले मकान से पहले वाले मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर हो। 

अर्थात, 1 + 2 + 3 ... + (x - 1) = (x + 1) + (x + 2) + ... + 49

∴ 1 + 2 + 3 + ... + (x - 1)

= [1 + 2 + ... + x + (x + 1) + ... + 49] - (1 + 2 + 3 + ... + x)

∴ `x - 1/2 [1 + x - 1] = 49/2 [1 + 49] - x/2 [1 + x]`

∴ x(x - 1) = 49 × 50 - x(1 + x)

∴ x(x - 1) + x(1 + x) = 49 × 50

∴ x² - x + x + x²

= 49 × 50

∴ x² = 49 × 25

∴ x = 7 × 5

∴ x = 35

चूँकि x एक भिन्न नहीं है, इसलिए दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला x का मान मौजूद है और 35 के बराबर है।

Answer 2

मकानों के क्रमांक क्रमशः 1, 2, 3, 4,………….., 49 हैं जो एक AP का निर्माण करते हैं।

जहाँ a = 1 एवं d = 2 - 1 = 1 एवं n = 49.

प्रश्नानुसार, चूँकि S_x-1 = S₄₉ - S_x

⇒ `(x - 1)/2[2a + (x - 2)d]`

= `49/2[2a + (49 - 1)d] - x/2[2a + (x - 1) xx d]`

⇒ `(x - 1)/2[2 xx 1 + (x - 2) xx 1]`

= `49/2[2 xx 1 + 48 xx 1] - x/2[2 xx 1 + (x - 1) xx 1]`

⇒ (x - 1)(x)

= `49(50) - x(x + 1)`

⇒ x² - x

= 2450 - x² - x

⇒ 2x² = 2450

⇒ x² = `2450/2`

= 1225

⇒ x = ±`sqrt1225 =` ± 35

चूँकि संख्या ऋणात्मक नहीं होती, अतः x = 35

अतः x का अभीष्ट मान = 35 है।