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प्रश्न
यदि एक दिए हुए रेखाखंड PQ को कई वृत्त बिंदु A पर स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्र PQ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होते है।
विकल्प
सत्य
असत्य
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उत्तर
यह कथन असत्य है।
स्पष्टीकरण:
दिया गया है कि PQ कोई रेखाखंड है और S1, S2, S3, S4,... वृत्त एक बिंदु A पर रेखाखंड PQ को स्पर्श करते हैं।
मान लीजिए वृत्त S1, S2, S3, S4,... के केंद्र क्रमशः C1, C2, C3, C4,... हैं।
सिद्ध करने के लिए इन वृत्तों के केंद्र लंब समद्विभाजक PQ पर स्थित हैं।
अब, वृत्तों के प्रत्येक केंद्र को रेखाखंड PQ पर बिंदु A से एक रेखाखंड अर्थात C1A, C2A, C3A, C4A... इत्यादि से जोड़ते हैं।
हम जानते हैं कि, यदि हम किसी वृत्त के केंद्र से उसकी स्पर्श रेखा तक एक रेखा खींचते हैं, तो रेखा हमेशा स्पर्श रेखा पर लंबवत होती है।
लेकिन यह रेखाखंड PQ को समद्विभाजित नहीं करता है।
इसलिए,
C1A ⊥ PQ ...[S1 के लिए]
C2A ⊥ PQ ...[S2 के लिए]
C3A ⊥ PQ ...[S3 के लिए]
C4A ⊥ PQ ...[S4 के लिए]
चूँकि, प्रत्येक वृत्त एक बिंदु A से होकर गुजर रहा है।
इसलिए, सभी रेखा खंड C1A, C2A, C3A, C4A.... इत्यादि संपाती हैं।
इसलिए, प्रत्येक वृत्त का केंद्र PQ की लंब रेखा पर स्थित है, लेकिन वे PQ के लंब समद्विभाजक पर नहीं हैं।
अतः, कई वृत्त किसी दिए गए रेखा खंड PQ को बिंदु A पर स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्र PQ के लंबवत पर स्थित होते हैं, लेकिन PQ के लंबवत समद्विभाजक पर नहीं।
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