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प्रश्न
AB एक वृत्त का व्यास है और AC उसकी एक जीवा इस प्रकार है कि ∠BAC = 30° है। यदि C पर खींची गई स्पर्श रेखा बढ़ाई गई AB से D पर मिलती है, तो BC = BD होगा।
विकल्प
सत्य
असत्य
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उत्तर
यह कथन सत्य है।
स्पष्टीकरण:
दिया गया है: AB केंद्र O वाले वृत्त का एक व्यास है और AC एक जीवा इस प्रकार है कि ∠BAC = 30°
साथ ही, C पर खींची गई स्पर्श रेखा AB को काटती हुई D तक जाती है।
सिद्ध करना है: BC = BD
प्रमाण: OA = OC ...[समान वृत्त की त्रिज्या]
∠OCA = ∠OAC = 30° ...[समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
∠ACB = 90° ...[अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।]
∠OCA + ∠OCB = 90°
30° + ∠OCB = 90°
∠OCB = 60° ...[1]
OC = OB ...[समान वृत्त की त्रिज्याएँ]
∠OBC = ∠OCB = 60° ...[समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
अब, ∠OBC + ∠CBD = 180° ...[रैखिक युग्म]
60 + ∠CBD = 180°
So, ∠CBD = 120° ...[2]
साथ ही, OC ⊥ CD ...[वृत्त पर एक बिंदु पर स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या के लंबवत होती है।]
∠OCD = 90°
∠OCB + ∠BCD = 90°
60 + ∠BCD = 90
∠BCD = 30° ...[3]
In ΔBCD
∠CBD + ∠BCD + ∠BDC = 180° ...[त्रिकोण का कोण योग गुण]
120° + 30° + ∠BDC = 180° ...[2 और 3 से]
∠BDC = 30° ...[4]
[3] और [4] से
∠BCD = ∠BDC = 30°
BC = BD ...[समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
अत: सिद्ध हुआ।
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