Question

AB एक वृत्त का व्यास है और AC उसकी एक जीवा इस प्रकार है कि ∠BAC = 30° है। यदि C पर खींची गई स्पर्श रेखा बढ़ाई गई AB से D पर मिलती है, तो BC = BD होगा।

विकल्प

• सत्य

• असत्य

Answer 1

यह कथन सत्य है।

स्पष्टीकरण:

दिया गया है: AB केंद्र O वाले वृत्त का एक व्यास है और AC एक जीवा इस प्रकार है कि ∠BAC = 30°

साथ ही, C पर खींची गई स्पर्श रेखा AB को काटती हुई D तक जाती है।

सिद्ध करना है: BC = BD

प्रमाण: OA = OC  ...[समान वृत्त की त्रिज्या]

∠OCA = ∠OAC = 30°  ...[समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]

∠ACB = 90°  ...[अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।]

∠OCA + ∠OCB = 90°

30° + ∠OCB = 90°

∠OCB = 60°  ...[1]

OC = OB   ...[समान वृत्त की त्रिज्याएँ]

∠OBC = ∠OCB = 60° ...[समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]

अब, ∠OBC + ∠CBD = 180° ...[रैखिक युग्म]

60 + ∠CBD = 180°

So, ∠CBD = 120°  ...[2]

साथ ही, OC ⊥ CD   ...[वृत्त पर एक बिंदु पर स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या के लंबवत होती है।]

∠OCD = 90°

∠OCB + ∠BCD = 90°

60 + ∠BCD = 90

∠BCD = 30°  ...[3]

In ΔBCD

∠CBD + ∠BCD + ∠BDC = 180°  ...[त्रिकोण का कोण योग गुण]

120° + 30° + ∠BDC = 180°  ...[2 और 3 से]

∠BDC = 30°   ...[4]

[3] और [4] से

∠BCD = ∠BDC = 30°

BC = BD   ...[समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]

अत: सिद्ध हुआ।