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प्रश्न
x + 1 निम्नलिखित बहुपद का एक गुणनखंड है :
विकल्प
x3 + x2 – x + 1
x3 + x2 + x + 1
x4 + x3 + x2 + 1
x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
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उत्तर
x3 + x2 + x + 1
स्पष्टीकरण -
हम जानते हैं कि यदि x + a, f(x) का एक गुणनखंड है, तो f(–a) = 0.
(A) मान लीजिए f(x) = x3 + x2 – x + 1
अब, f(–1) = (–1)3 + (–1)2 – (–1) + 1
= –1 + 1 + 1 + 1
= 2 ≠ 0
इसलिए, f(x), x + 1 का गुणनखंड नहीं है।
(B) मान लीजिए f(x) = x3 + x2 + x + 1
अब, f(–1) = (–1)3 + (–1)2 + (–1) + 1
= –1 + 1 – 1 + 1
= 0
इसलिए, f(x), x + 1 का एक गुणनखंड है।
(C) मान लीजिए f(x) = x4 + x3 + x2 + 1
अब, f(–1) = (–1)4 + (–1)3 + (–1)2 + 1
= 1 – 1 + 1 + 1
= 2 ≠ 0
इसलिए, f(x), x + 1 का गुणनखंड नहीं है।
(D) मान लीजिए f(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
अब, f(–1) = (–1)4 + 3 × (–1)3 + 3 × (–1)2 + (–1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1
= 1 ≠ 0
इसलिए, f(x), x + 1 का गुणनखंड नहीं है।
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