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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बना चतुर्भुज एक आयत होता है।
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उत्तर
दिया गया है - मान लीजिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और AP, BR, CR क्रमश : ∠A, ∠B, ∠C और ∠D के समद्विभाजक हैं।
सिद्ध करना है - चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
उपपत्ति - चूँकि, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, तो DC || AB और DA एक तिर्यक रेखा है।
∠A + ∠D = 180° ...[एक समांतर चतुर्भुज के अंतः कोणों का योग 180° है।]
⇒ `1/2` ∠A + `1/2` ∠D = 90° ...[दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर]
∠PAD + ∠PDA = 90°
∠APD = 90° ...[चूँकि, त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है।]
∴ ∠SPQ = 90° ...[शीर्षाभिमुख कोण]
∠PQR = 90°
∠QRS = 90°
और ∠PSR = 90°
इस प्रकार, PQRS एक चतुर्भुज है जिसका प्रत्येक कोण 90° है।
अतः, PQRS एक आयत है।
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