Question

सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बना चतुर्भुज एक आयत होता है।

Answer 1

दिया गया है - मान लीजिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और AP, BR, CR क्रमश : ∠A, ∠B, ∠C और ∠D के समद्विभाजक हैं।

सिद्ध करना है - चतुर्भुज PQRS एक आयत है।

उपपत्ति - चूँकि, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, तो DC || AB और DA एक तिर्यक रेखा है।

∠A + ∠D = 180° ...[एक समांतर चतुर्भुज के अंतः कोणों का योग 180° है।]

⇒ `1/2` ∠A + `1/2` ∠D = 90°  ...[दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर]

∠PAD + ∠PDA = 90°

∠APD = 90°   ...[चूँकि, त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है।]

∴ ∠SPQ = 90°  ...[शीर्षाभिमुख कोण]

∠PQR = 90°

∠QRS = 90°

और ∠PSR = 90°

इस प्रकार, PQRS एक चतुर्भुज है जिसका प्रत्येक कोण 90° है।

अतः, PQRS एक आयत है।