Advertisements
Advertisements
प्रश्न
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_"0"^pi (x"d"x)/(1 + sin x)`
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए I = `int_"0"^pi (x"d"x)/(1 + sin x)` .....(i)
= `int_0^pi (pi - x)/(1 + sin(pi - x)) "d"x` ......`["उपयोग" int_0^"a" "f"(x) "d"x = int_0^"a" "f"("a" - x)"d"x]`
= `int_0^pi (pi - x)/(1 + sinx) "d"x` ......(ii)
(i) और (ii), को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है
2I = `int_0^pi (x/(1 + sinx) + (pi - x)/(1 + sinx)) "d"x`
= `int_0^pi ((x + pi - x)/(1 + sinx))"d"x`
= `int_0^pi pi/(1 + sin x) "d"x`
= `pi int_0^pi 1/(1 + sinx) "d"x`
= `pi int_0^pi (1.(1 - sinx))/((1 + sinx)(1 - sinx)) "d"x`
= `pi int_0^pi (1 - sinx)/(1 - sin^2x) "d"x`
= `pi int_0^pi (1 - sinx)/(cos^x) "d"x`
= `pi int_0^pi (1/(cos^2x) - sinx/(cos^2x))"d"x`
= `pi int_0^pi (sec^2x - secx tanx)"d"x`
= `pi[tanx - sec]_0^pi`
= `pi[tan pi - tan 0) - (sec pi - sec 0)]`
2I = `pi[0 - (-1 - 1)`
= `pi`(2)
∴ I = `pi`
अत:, I = `pi`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
समाकलन की एक प्रतिअवकलज के रूप में अवधारणा का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित का सत्यापन कीजिए-
`int (x^3"d"x)/(x + 1) = x - x^2/2 + x^3/3 - log|x + 1| + "C"`
`int tan ^8 xsec^4 x"d"x` का मान निकालिए।
`int_0^(pi/2) (tan^7x)/(cot^7x + tan^7x) "d"x` का मान निकालिए।
`int x^2tan^-1 x"d"x` ज्ञात कीजिए।
यदि `int (3"e"^x - 5"e"^-x)/(4"e"6x + 5"e"^-x)"d"x` = ax + b log |4ex + 5e –x| + C है, तो
`int_(a+c)^(b+c) "f" (x) "d"x` बराबर है
`int_(-1)^1 (x^3 + |x| + 1)/(x^2 + 2|x| + 1) "d"x` बराबर है
`int (sin^6x)/(cos^8x) "d"x` = ______.
`int_0^(2"a") "f"(x) "d"x = 2int_0^"a" "f"(x) "d"x`, यदि f(2a – x) = ______.
निम्नलिखित का सत्यापन कीजिए-
`int (x - 1)/(2x + 3) "d"x = x - log |(2x + 3)^2| + "C"`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int ((x^2 + 2))/(x + 1) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int ("d"x)/(1 + cos x)`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int (3x - 1)/sqrt(x^2 + 9) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int x/(x^4 - 1) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int x^2/(1 - x^4) "d"x` [x2 = t रखिए]
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int (sin^6 x + cos^6 x)/(sin^2 x cos^2 x)"d"x`
निम्नलिखित का योग की सीमा के रूप में मान निकालिए-
`int_0^2 (x^2 + 3)"d"x`
निम्नलिखित का योग की सीमा के रूप में मान निकालिए-
`int_0^2 "e"^x "d"x`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_1^2 ("d"x)/sqrt((x -1) (2 -x))`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_0^x xsin x cos^2 x"d"x`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int _0^(1/2) ("d"x)/((1 + x^2) sqrt(1 - x^2))` (संकेत: x sinθ रखिए)
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int "e"^(tan^-1x) ((1 + x + x^2)/(1 + x^2)) "d"x`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_(pi/3)^(pi/2) sqrt(1 + cosx)/(1 - cos x)^(5/2) "d"x`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_(-pi/4)^(pi/4) log|sinx + cosx|"d"x`
`int (x^9 "d"x)/(4x^2 + 1)^6` बराबर है
`int x^3/(x + 1)` बराबर है
`int (x + sinx)/(1 + cosx) "d"x` बराबर है
`int_((-pi)/4)^(pi/4) ("d"x)/(1 + cos2x)` बराबर है
`int_0^(pi/2) sqrt(1 - sin2x) "d"x` बराबर है
